Интегральная формула Коши

Теорема. Если -аналитическая функция в G, G – односвязная область,

Г- замкнутый контур, лежащий внутри G, z лежит внутри G, z лежит внутри Г, то .

Док-во:

Пусть -окружность .

1) -функция аналитическая между Г и .

2) умножим на и разделим на 2

.

3)

, таким образом разность между функциями меньше любого, сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Замечание. Функция заданная на контуре Г, однозначно определена в любой точке, лежащей внутри Г.

Теорема.(для многосвязной области) Если G - многосвязная область, ограниченная контурами Г и , С – граница G, С= , -аналитическая функция в G и на С, то .

Док-во:

1)Покроем границу окрестностями ее точек, выделим конечное подпокрытие, расширим область аналитичности. Разрежем G по получим односвязную облость.

Г

2) По теореме для односвязной области

.

Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической функции

Лемма. Если -непрерывная функция в области G, , не зависит от выбора контура, соединяющего точки и z, то .

Док-во:

z z+h

,

Теорема. Если -аналитическая функция в области G, , то .

Док-во:

-аналитическая функция непрерывна, интеграл независит от контура условия леммы выполнены. .

Утв. - аналитическая функция, , то .

Док-во:

Формула Ньютона-Лебница

Утв. Если f(z) аналитическая в некоторой области, , то .

Док-во:

;

Интеграл типа Коши

Теорема. Если L – конечный контур, z L, , , f(z) непрерывная функция на L, , то является аналитической в точке z, .

Док-во:

-длина L.

Таким образом, разность между функциями меньше любого сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Замечание. Продифференцировав F(z) по z, мы получили бы тот же результат, что и в теореме, но с меньшими усилиями. Однако мы не имеем права дифференцировать функцию комплексного переменного по параметру.

Следствие. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.

Таким образом аналитическая функция бесконечное число раз дифференцируема и производная аналитической функции выражается через интеграл.

Теорема Морера. Если непрерывна в области G, , не зависит от выбора контура, соединяющего точки и z, то -аналитическая функция в области G.

Док-во:

по лемме , т.е. f(z) бесконечное число раз дифференцируема f(z) аналитическая.

Лекция 6

Ряды функций комплексного переменного

Опр.

1. Ряд называется равномерно сходящимся в области Q, если:

, ,

2. Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Теорема Вейерштрасса.

Если G- связная область, -аналитические в G,

- ряд, равномерно сходящийся к в G, то

1. f(z) аналитическая в G,

2. замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:

.

Док-во:

1. Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г ,

Тогда: ;

;

; ;

;

;

;

перейдя к пределу, получим:

, таким образом f(z) аналитическая функция.

2) Возьмем контур , такой что внутри .

Г

z .

Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .

внутри .

Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .

, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .

Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .

Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.

Утв. Если , то аналитическая в круге радиуса R.

Док-во:

В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.