Векторный анализ. Скалярное и векторное поле.
Рассмотрим пространственную область(V).Предположим, что в каждой точке P области (V) задано некоторое число u. В этом случае говорят, что в области задано скалярное поле. Если ввести систему координат, то положение точки будет определяться ее координатами, и тогда задание скалярного поля будет равносильно заданию функции трех переменных (или двух, если область плоская) u = u(x, y, z).
MMmm P(x, y, z)→u
(V)
. Примером скалярного поля является поле температур или поле электрического потенциала.
Если в каждой точке области задан вектор F, то говорят, что в области задано векторное поле. Примером векторного поля является поле сил или поле скоростей частиц текущей жидкости.
Производная по направлению.
Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную в некоторой области плоскости (x, y). y
S
Δy Δs M (x+Δx, y+Δy)
β α Δx
M(x,y)
x
Рассмотрим точку M(x, y) и некоторый вектор S, проходящий через эту точку и имеющий направляющие косинусы cos α и cos β На векторе S возьмем точку M1(x + Δx, y + Δy). Функция z = f(x, y) получит приращение Δz. Будем считать, что функция z и ее производные z′x и z′y непрерывны в области, содержащей точки М и М1, тогда
Если u = u(x, y, z), то
П р и м е р
.Найти производную функции u = x2 + y2 + z2 в направлении вектора s = i + j + k в точке М(1, -1, 1).
Производная по направлению показывает скорость изменения функции в направлении вектора s.
Градиент.
Рассмотрим функцию u = u(x, y, z) .
называется градиентом функции u = u(x, y, z).
Функции u = u(x, y, z) определяет в пространстве скалярное поле, grad u определяет векторное поле. Таким образом, скалярное поле порождает векторное поле – поле градиента.
На плоскости для функции z = f(x, y)
Теорема.
П роизводная функции u(x, y, z) в направлении вектора s равна проекции градиента функции u на вектор s.
Доказательство.
s 0 – единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора s.
|s0| = 1 s0 = cos α ∙i + cosβ∙j + cosγ ∙ k. Тогда
grad u
)φ s0 s
∂u/∂s
Следствие.
Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента.
Поток вектора через поверхность.
Пусть в некоторой области (V) задано векторное поле
F(P) = X(x,y,z) i + Y(x,y,z) j + Z(x,y,z) k
(или F(P) = {X(P), Y(P), Z(P)})
Примером векторного поля является поле градиента.
Векторной линией называется линия, которая в каждой точке касается вектора поля.
В области (V) рассмотрим поверхность (S). В каждой точке P поверхности задается положительное направление нормали с единичным вектором n0(P).
Введем понятие потока вектора через поверхность, рассмотрев некоторую гидромеханическую задачу.
Будем интерпретировать данное поле как поле скоростей частиц текущей несжимаемой жидкости и найдем количество жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени. Разобьем поверхность произвольным образом на частичные ячейки ∆qi. Тогда количество жидкости, протекающей через эту ячейку в единицу времени имеет вид
∆Vi ∆qi hi = .
Объем через всю поверхность будет равен
Отсюда
П =
n0 = {cos α, cos β, cos γ} – направляющие косинусы вектора n.
П = .
Количество жидкости, протекающее через поверхность (S) в единицу времени, равно потоку вектора скорости через поверхность (S) в выбранном направлении.
Если поверхность замкнутая, то поток измеряет общее количество жидкости, протекающее через поверхность (S) в единицу времени в направлении внешней нормали, т. е. поток измеряет силу источников, расположенных внутри поверхности (или стоков, если П < 0)
В общем случае поток определяет количество векторных линий, проходящих через поверхность в единицу времени.