4. Космічні швидкості.

Висновки з попередніх питань повністю можна поширити і на рух штучних супутників Землі та космічних кораблів. При цьому нехтуватимемо опором повітря і, якщо тіла рухаються біля поверхні Землі, не враховуватимемо сил гравітаційного тяжіння Сонця, Місяця та планет.

Повна енергія супутника або космічного корабля у полі земного тяжіння:

, (1)

де і – відповідно маса супутника і Землі, – відстань супутника від центра Землі.

Як вже зазначалося рух буде обмеженим, тобто відбуватиметься по еліптичні траєкторії, якщо . Окремим випадком такого руху буде рух по коловій траєкторії. При цьому сила тяжіння відіграє роль доцентрової сили, тобто:

Звідси дістанемо, що

Взявши, що  м/с²,  м, дістанемо, що  м/с  км/с.

Швидкість, яку повинен мати супутник, щоб рухатися по коловій орбіті навколо Землі, називають першою космічною швидкістю.

Рух супутника відбуватиметься по параболі, тобто буде необмеженим, за умови, що . Тоді швидкість руху з урахуванням (1):

;  км/с

Швидкість називають другою космічною швидкістю. Це та найменша швидкість, яку потрібно надати тілу, щоб воно ніколи не повернулося на Землю. Можна надати тілу і таку швидкість, щоб воно залишило Сонячну систему. Цю швидкість називають третьою космічною швидкістю.

Відшукаємо мінімальне і максимальне значення третьої космічної швидкості корабля.

Точне визначення третьої космічної швидкості має ряд значних утруднень, оскільки слід враховувати гравітаційні взаємодії трьох тіл: Сонця, Землі і космічного корабля. Однак таке обчислення значно спрощується, якщо нехтувати дією поля сонячного тяжіння на рух космічного корабля протягом всього часу, який потрібний для виходу його поза зону дії земного тяжіння. Це пояснюється тим, що дія поля сонячного тяжіння повністю компенсується силами інерції, які виникають внаслідок руху Землі навколо Сонця.

Позначимо швидкості корабля відносно Землі , , ( і – відповідно перша і друга космічні швидкості). Аналогічно позначимо швидкості корабля відносно Сонця , , . Якщо корабель виходить із зони дії земного тяжіння з параболічною швидкістю відносно Сонця, то відносно Землі ця швидкість буде третьою космічною швидкістю, яку позначимо через . Знайдемо мінімальне значення цієї швидкості. Для цього старт треба проводити так, щоб при виході із зони земного тяжіння корабель рухався вздовж дотичної до земної орбіти і в напрямі руху Землі. Рух розглядатимемо в системі відліку, відносно якої Сонце нерухоме. Швидкість руху Землі навколо Сонця – це швидкість колового руху . Під час запуску корабля внаслідок віддачі швидкість Землі зміниться і дорівнюватиме . Швидкість корабля в момент старту відносно Сонця , а після виходу із зони земного тяжіння ця швидкість стане параболічною, тобто . Тоді рівняння закону збереження енергії для цих станів матиме такий вигляд:

(2)

де і – відповідно маса корабля і Землі. Оскільки , то рівняння (2) запишемо так:

. (3)

Враховуючи, те, що і , рівняння (3) можна записати як

(4)

Нехтуючи дією поля сонячного тяжіння, закон збереження імпульсу цих станів можна записати у такій формі:

(5)

Звідси маємо

Підставивши вираз у рівняння (4), знаходимо мінімальне значення третьої космічної швидкості:

, оскільки , тоді

(6)

Підставляючи числові значення у (6), дістанемо  км/с.

Якщо космічний корабель посилають у протилежному напрямі до напряму руху Землі, тоді третя космічна швидкість максимальна. Виконуючи аналогічні розрахунки, враховуючи зміну напрямку можна одержати, що

Н.В. Подопригора