3. Закони Кеплера.

Одна з найцікавіших і найважливіших задач – є задача про рух в полі сил тяжіння. Задачу про рух двох частинок, які взаємодіють за законом:

(1)

Оскільки це поле є центрально-симетричним, тоді для нього годяться всі висновки, які ми отримали вище.

Але ми для розв’язання задачі Кеплера скористаємось дещо іншим прийомом для відшукання траєкторії руху частинки в так-званому кулонівському полі.

Відшукаємо лагранжіан точки зведеної маси:

; (2)

Кінетична енергія точки:

;

;

; ; :

; (3)

Потенціальна енергія точки:

;

Для центрально-симетричного поля:

;

Враховуючи також формулу (1), матимемо:

;

;

;

;

. (4)

Нехай і із урахуванням (3) і (4) рівняння (2) матиме вигляд:

(5)

Як відомо і – циклічна координата.

Значить:

(6)

А тому, використовуючи перше рівняння Лагранжа, матимемо:

.

Окрім того:

– секторна швидкість матеріальної точки, де:

,

Тоді із урахуванням рівняння (5) – (6) матиме зміст подвійної секторної швидкості:

. (7)

Тепер складемо друге рівняння Лагранжа:

;

Враховуючи (3), матимемо:

; .

Далі:

,

отже:

;

. (8),

Тоді:

. (9)

Ця величина за звичай близька до одиниці, бо .

Скористаємось інтегралом площини (7), тоді одержимо, що інтеграл площини

(10)

і рівняння (8) матиме вигляд:

;

. (11)

Для інтегрування цього рівняння виконаємо заміну через .

Для цього використаємо інтеграл площини (10), тобто:

;

.

Тоді рівняння (11) матиме вигляд:

.

Щоб спростити це диференціальне рівняння виконаємо заміну, нехай:

(12)

Тоді

,

отже:

(13)

значить, , тоді:

;

Враховуючи (13):

;

;

(14)

Це диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами і розв’язується згідно загальних правил:

1) .

2)

Його характеристичне рівняння матиме вигляд:

;

, тобто матимуть уявні значення, тому:

Тобто загальний розв’язок цього однорідного рівняння:

,

або

,

де і – довільні сталі. Отже остаточно:

або ;

(15)

Таким чином, загальний інтеграл (15) дає рівняння кривої другого порядку у полярних координатах:

, де ,

– параметр кривої, – ексцентриситет кривої.

Ми бачимо, що рух тіла маси в полі сили тяжіння тіла маси приводить до траєкторії кривої другого порядку, де:

– параметр цієї кривої, а

– ексцентриситет цієї кривої, причому

– це подвійна секторна швидкість руху точки;

, де – гравітаційна стала;

;

– стала інтегрування, що визначається повною енергією тіла маси .

Як відомо, характер кривої другого порядку визначається величинами і .

Як ми вже бачили, інтеграл енергії має в цьому випадку вигляд:

, де – ефективний потенціал;

А кінетична енергія радіального руху:

.

Побудуємо графік залежності ефективного потенціалу від відстані до силового центру і проведемо прямі для різних значень повної енергії.

Умова виконується для наступних рухів:

1. , тоді . Такий рух буде інфінітний і відповідає гіперболічній траєкторії.

2. , тоді . Рух також інфінітний і відбувається за параболічною траєкторією.

3. , тоді . Рух фінітний і за еліптичною траєкторією.

4. , тоді . Рух фінітний і по колу.

Таким чином, розв’язуючи задачу Кеплера ми можемо також дуже легко встановити закони Кеплера:

Перший закон Кеплера: Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Цей закон ми одержали, розв’язуючи Кеплерову задачу.

Уточнімо: в одному з фокусів еліпса знаходиться не Сонце, а центр має системи „Сонце-планета”.

Другий закон Кеплера: .радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описують рівні площі.

Цей закон ми одержали у вигляді інтеграла площини:

Інакше: секторна швидкість руху планети є величиною сталою.

Третій закон Кеплера:

Ми бачили, що:

, , ;

Крім того:

;

; .

Тому, що – подвійна секторна швидкість, тоді:

, де – площа еліпса, – період обертання планети, – велика, – і мала півосі еліпса.

Значить:

.

Але , тому

,

тут – велика піввісь еліпса, по якому рухається зведена маса.

Коли врахувати рух зведеної маси , тоді матимемо таку картину руху:

Частинка з більшою масою описуватиме менший еліпс, меншої – більший, зведена маса – має ще меншу масу, порівняймо:

Таким чином: .

Тому:

, (16)

де За умови, що і і .

Значить,

Квадрати періодів планет відносяться до кубів півосей для всіх планет майже однаково (адже – величина мала).

Розглянуту тут теорію можна було б застосувати і до атома водню. Однак у цьому разі теорія не узгоджується з експериментом, бо класична механіка тут не застосовна, і атом водню треба описувати за допомогою квантової механіки.

Безумовно, всі три закони Кеплера справедливі для руху як природних так і штучних супутників планет. Варто, одна пам’ятати, що ці закони виконуються лише в тих умовах, в яких вони одержані. Зокрема ми припустили, що на кожну планету діє гравітаційна сила тільки з боку Сонця і що взаємодія між планетами незначна. Завдяки великій масі Сонця, рух планет визначається в основному Сонцем, проте взаємодією між планетами не завжди можна знехтувати. Повчальною є історія відкриття планети Нептун. Було помічено, що траєкторія планети Уран (на той час остання з відомих планет Сонячної системи) в певний момент часу помітно відхилялася від еліпса. У. Лавер’є припустив, що це відхилення пожна пояснити дією на планету Уран іншої, ще невідомої планети. Виходячи з цього припущення, Лавер’є підрахував, якою мають бути її маса і траєкторія, щоб відхилення орбіти від точного еліпса збіглося з цими спостереженнями. Знаючи траєкторію, Лавер’є зміг також визначити координати цієї планети в будь-який момент часу. Справді, 23 вересня 1846 р. Й. Галле знайшов у визначеному місці цю планету, яку потім назвав Нептуном. Так, „на кінчику пера” було відкрито нову планету. Це була перемога людського розуму, який спирався на знання законів природи.