Лекція з теоретичної фізики

Розділ: Вибрані задачі класичної механіки

Спеціальність 6.010100 Педагогіка і методика середньої освіти. Фізика.

Тема: Задача двох тіл та рух частинки у центрально-симетричному полі

План:

1. Задача двох тіл.

2. Рух частинки у центральному полі.

3. Закони Кеплера.

4. Космічні швидкості.

Література:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. Пособие. –В 10-ти т. Т.1. Механика. – М.: Наука, 1988, §§11–15.

2. И.В. Савельев. Основы теоретической физики, т. 1. – М.: Наука, 1975, §§11–12.

3. А.М. Федорченко. Класична механіка і електродинаміка. – К.: Вища школа, 1992, §§11–12.

4. В.В. Мултановский. Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика: учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1988, §27

5. Н.И. Жирнов Классическая механика: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1980, §§13,14,17–19

1. Задача двох тіл

Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю.

Вона може бути зведена до двох задач (одночастинних): задачі про рух центру мас; рух точки зведеної маси відносно центру мас.

Нехай, ми маємо систему з двох частинок масами і .

Між ними діють сили взаємодії, а зовнішні сили відсутні. Тоді, рівняння, що описують рух цих частинок окремо матимуть вигляд:

(1)

Оберемо нову систему відліку – систему із початком у центрі мас цих двох частинок.

(2)

Ця система рухається із постійною швидкістю. Коли центр (початок координат) нової системи співпадає із точкою , то , тоді і – радіус-вектори і відносно , тоді маємо, що

. (3)

Значить, якщо знайти , тоді – обчислити легко.

Введемо ще одну величину – відносну координату: ,

тоді, помножуючи праву і ліву частину цього рівняння на отримаємо:

(4)

Враховуючи рівняння (3) матимемо:

і підставимо в (4):

,

тоді матимемо, що:

;

.

Тоді для швидкостей:

; (5)

А рівняння руху (1) набудуть вигляду:

Позначимо за й назвемо цю величину зведеною масою

Тоді .

Аналогічно:

, або , тобто

.

Отже, рух двох точок розглядається як рух однієї із зведеною масою

Із координатою під дією силового центру в початку координат.

К оли вигляд силового поля відомий, то можна відшукати й , а потім:

, . а також

,

Таким чином, траєкторії руху заданих точок і , а також точки є подібні криві, відносно центру мас системи, причому . Відповідно можна відшукати й швидкості точок з рівнянь (5).

Отже таким чином задача розв’язана.

2. Рух частинки у центральному полі

Як відомо, центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією лише від віддалі від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т.

Коли ми маємо дві матеріальні точки, то як ми вже бачили у попередньому питанні, їх рух може бути описаний в Ц-системі (системі пов’язаної із центром мас системи) як рух точки зведеної маси, т.т. зводиться до руху однієї точки..

Як відомо, момент імпульсу матеріальної точки у центрально-симетричному полі є інтегралом руху, тобто зберігається за модулем і за напрямком, а якщо так і – лежать в одній площині перпендикулярній до , що не змінює свого положення в просторі або іншими словами: рух – плоский. Траєкторія такого руху – плоска крива, а ому така тачка має лише дві ступені вільності.

Т ому для опису руху точки у центрально-симетричному полі зручно використати полярну систему координат: полюс (сумістити із центром мас системи – ), радіус вектор (його довжина ( ), азимут – . Тобто площина співпадає з полярною системою координат ; .

Тоді у цій системі відліку момент імпульсу матеріальної точки має вигляд:

Отже, (1)

Повна енергія такої матеріальної точки:

, або ;

(2)

А тепер намітимо шлях розв’язання основної задачі механіки. Використовуючи отримані нами інтеграли руху (1) і (2) можна відшукати рівняння траєкторії матеріальної точки, а саме:

і

Оскільки , тому ; , значить

, (3)

де – відцентрова потенціальна енергія.

Таким чином, можна ввести поняття ефективної потенціальної енергії:

(4)

Ефективний потенціал (4) складається з двох доданків, кожний з яких є функціями лише координати і ефективний потенціал є функцією від , а тому отримане рівняння :

допускає розділення змінних:

;

;

(5)

Обчислити інтеграл (а це можна зробити врахувавши відповідні граничні умови) можна відшукати і .

Після цього:

; ; ;

Можна одержати рівняння руху і в загальному вигляді:

; ;

(6)

Це і є рівняння траєкторії .

Відзначимо особливості одержаних результатів.

• З формули (6) випливає, що не змінюється, а тому – змінюється монотонно.

• може перетворюватись в нуль в точках де відповідно до рівняння (3):

;

Ці точки називають точками повороту, в них змінюється , а переходить від зростання до спадання і навпаки.

Область допустимих значень визначається з умови:

Коли ця умова виконується тоді , причому і відмінні від і й рух частинки вважається фінітний, коли , то рух – інфінітний.