Теорема о свойстве классов эквивалентности.

Классы эквивалентности всегда либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство.

Будем доказывать от противного, т.е. предположим, два класса эквивалентности С(а) и С(b) пересекаются и не совпадают. Значит, существует элемент d, такой, что .

Следовательно, по свойству транзитивности. т.к. .

Значит, множество С(b) является подмножеством С(а).

По свойству симметрии, С(а) является подмножеством С(b).

Следовательно, множества С(а) и С(b) совпадают. Следовательно, утверждение, являющееся отрицанием формулировки теоремы не верно, а значит, формулировка верна.

Из этой теоремы следует, что .

Связь отношений эквивалентности с операциями.

Отношение эквивалентности С называется конгруэнтностью относительно выбранной операции F, если относительно этой операции выполняется следующее условие:

Фактормножеством называется множество классов эквивалентности некоторого множества, в котором каждый класс эквивалентности является самостоятельным элементом. Фактормножество наследует(сохраняет) операции, определенные для исходного множества.

Факторизацией множества называется разбиение множества на классы эквивалентных элементов, т.е. выделение фактормножества.

Идеалом называется подкольцо Р кольца М, если

Например, класс эквивалентности нулю (нейтральному элементу по сложению) по какой-нибудь конгруэнтности, заданной на кольце М, всегда является идеалом М. Нулевой идеал (т.е. содержащий только 0) и идеал, содержащий все элементы М, называются несобственными. Все остальные идеалы называются собственными.

И последнее утверждение, которое я не понял, а так, как понял, считаю неверным, т.е. не понял.

Между всеми конгруэнтностями и всеми идеалами кольца существует взаимооднозначное соответствие.

Оно еще как-то доказывается.

Вот и все.

Вносите поправки, если я где ошибся.