107

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –

ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ

О.В. Панневиц, А.С. Рыбакин

Математический анализ

(примеры и задачи)

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2010 г

Панневиц О.В., Рыбакин А.С.

Математический анализ (примеры и задачи). Учебно-методическое пособие. – Издательство «», 2010. – 101 с.

Пособие соответствует программе дисциплины «Математический анализ» экономических специальностей. Весь материал разбит на практические занятия по отдельным темам. При этом каждое занятие состоит из четырех пунктов:

1 – повторение основных определений, теорем и рабочих формул по теме занятия;

2 – примеры с решениями различных типов задач и примеров;

3 – набор задач и примеров, которые рекомендуется решить (как правило, самостоятельно в аудитории);

4 – набор задач и примеров для самостоятельного решения (домашнее задание).

Такая структура позволяет наиболее эффективно использовать время занятия как студентам, так и преподавателю.

Кроме того, студент может самостоятельно отработать указанную тему (при необходимости).

Для студентов и слушателей программ высшего профессионального образования.

Рекомендовано к печати Учебно-методическим советом СПб филиала ГУ-ВШЭ в качестве учебного пособия.

Оглавление

Практическое занятие №1. Функции…………………………………………………………………….4

Практическое занятие №2.Множества. Операции над множествами………………………………..12

Практическое занятие №3.Предел функции…………………………………………………………...22

Практическое занятие №4.Предел функции (продолжение)………………………………………….25

Практическое занятие №5.Непрерывность функции. Классификация точек разрыва……………...27

Практическое занятие №6.Производные……………………………………………………………....30

Практическое занятие №7.Дифференцирование функций……………………………………………33

Практическое занятие №8.Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой………...37

Практическое занятие №9.Монотонность и экстремумы функций…………………………………..40

Практическое занятие №10.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде…………………………………………………...43

Практическое занятие №11.Непосредственное интегрирование…………………………………….47

Практическое занятие №12.Метод замены переменной (подстановки)……………………………..48

Практическое занятие №13.Интегрирование по частям………………………………………………50

Практическое занятие №14.Интегрирование рациональных функций………………………………52

Практическое занятие №15.Интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса………………………………………………………………………..57

Практическое занятие №16.Определенный интеграл…………………………………………………61

Практическое занятие №17.Определенный интеграл (продолжение)………………………………..64

Практическое занятие №18.Несобственные интегралы……………………………………………….67

Практическое занятие №19.Положительные ряды…………………………………………………….68

Практическое занятие №20.Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды (общий случай)…72

Практическое занятие №21.Степенные ряды…………………………………………………………..74

Практическое занятие №22.Ряды Тейлора и Маклорена………………………………………………77

Практическое занятие №23.Ряды Фурье………………………………………………………………..81

Практическое занятие №24.Ряды Фурье (продолжение)………………………………………………86

Практическое занятие №25.Функции нескольких переменных…………………………………….…89

Практическое занятие №26.Функции нескольких переменных (продолжение)……………………..92

Практическое занятие №27.Скалярное поле……………………………………………………………95

Практическое занятие №28.Градиент скалярного поля…………………………………………….….99

Практическое занятие №29.Экстремумы функции нескольких переменных…………………….…101

Практическое занятие №30.Двойной интеграл………………………………………………………..103

Литература……………………………………………………………………………………………….106

Практическое занятие №1.

Функции.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение числовой функции.

2. Что называют областью определения функции и множеством значений?

3. Какие способы задания функции вы знаете?

4. Дайте определение четной, нечетной функции и функции общего вида.

5. Перечислите основные элементарные функции.

Примеры с решениями:

1. Найти область определения функций:

1. ;

2. - + -

-1 2

;

3. ;

4. 

2. Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

1. - функция, возрастающая на всей области определения

.

2. - функция убывает до , затем возрастает, поэтому считаем значение в трех точках

3. - функция, возрастающая на всей области определения

;

4. - функция, убывающая на всей области определения

5. - функция убывает на заданной области

3. Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

1. - четная;

2. - общего вида;

3. - нечетная.

4) Построить графики следующих элементарных функций:

1. - линейная функция

-3

-3

2. - квадратичная функция, графиком является парабола

2

-1

3. - дробно-линейная функция, графиком является гипербола

-1

-1/2

4. - логарифмическая функция

-3

5. - показательная функция

-1

Примеры для практических занятий:

1. Найти область определения функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

1. 

2. 

3. ;

4. .

3. Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

1. 

2. 

3. 

4. 

4. Построить графики следующих функций:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

Ответы:

1. 1. 2. 3. 4.

2. 1. 2. 3. 4.

3. 1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Общего вида.

4. 1 .

4

-2

2 .

-3

3 .

3

1 2

4 .

2

3

5 .

-2

Примеры для самостоятельного решения:

1. Найти область определения функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

2. Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

1. 

2. 

3. 

4. 

3. Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

1. 

2. 

3. 

4. 

4. Построить графики следующих функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы:

1. 1. 2. 3. 4. 5.

2. 1. 2. 3. 4.

3. 1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Функция общего вида.

4. 1 .

2

2.

2

-3

3.

-2

4 .

-4

5.

4

Практическое занятие №2.

Множества. Операции над множествами.

Контрольные вопросы.

1. Что понимают под множеством?

2. Дайте определение подмножества.

3. Перечислите основные способы задания множеств.

4. Какое множество называют счетным?

5. Перечислите основные операции над множествами.

Примеры с решениями:

1. Заданы два множества и .

Найти , ,

, .

2. Заданы два множества и

И зобразить на плоскости

2

-2

-3

3. Заданы два множества и

Изобразить на плоскости .

2

1

4. Заданы три множества , и

. Изобразить на плоскости .

4

1

-2 2

-1

-2

-3

5. Заданы три множества , и

.Изобразить на плоскости .

1

1

2

6. Заданы три множества , и

. Изобразить на плоскости .

5

1 2 3

-1 -1

1

-1

7. Заданы три множества , и

.Изобразить на плоскости .

-2

-2

1

-1 1

-1

Примеры для практических занятий:

8. , ;

Изобразить на плоскости:

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы:

8)

9 )

2

1 0)

11)

1 2)

1 3)

1 4)

Примеры для самостоятельного решения:

Изобразить на плоскости:

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Ответы:

1 5)

-2

1 6)

17)

18)

1 9)

20)

Практическое занятие №3.

Предел функции.

Контрольные вопросы.

1. Что называют пределом функции?

2. Что называют односторонним пределом?

3. Перечислите типы неопределенностей.

Примеры с решениями:

1. Неопределенность типа решаем разбиением на множители

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

или домножением на сопряженное

5. ;

6. ;

7. 

;

2. При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.

Первый способ (выносим за скобку наиболее быстро растущую степень):

8. ;

Второй способ (оставляем наибольшую степень):

9. ;

3. При неопределенности типа приводим к общему знаменателю

10. ;

11. ;

или домножаем на сопряженное

12. ;

13. .

Примеры для практических занятий:

14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ; 22) ;

23) ; 24) ; 25) ; 26) ;

27) ; 28) ; 29) ; 30) ;

31) ; 32) ; 33) ;

34) ; 35) .

Ответы:

14. 0; 15) 0,7; 16) ; 17) ; 18) ; 19) 6; 20) 0; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) 0; 27) –2; 28) 1,5; 29) 0; 30) ; 31) 0,4; 32) 0; 33) 0,25; 34) 2; 35) .

Примеры для самостоятельного решения:

36) 37) 38) 39) 40)

41) 42) 43) 44) 45)

46) 47) 48) 49)

50) 51) 52) 53)

Ответы:

36) 2; 37) 0; 38) 2/3; 39) 6/7; 40) –5/3; 41) 1/6; 42) ½; 43) –2; 44) 45) 46) 2/5; 47)

48) ½; 49) –1/2; 50) –1/2; 51) –2,5; 52) 0; 53) 2.

Практическое занятие №4.

Предел функции (продолжение).

Контрольные вопросы.

1. Первый и второй замечательные пределы.

2. Что такое бесконечно малое?

3. Таблица эквивалентных.

Примеры с решениями:

В этих пределах необходимо применять таблицу эквивалентных:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.

Первый способ (применение второго замечательно предела):

7. ;

Второй способ (логарифмирование - ):

8. ;

9. ;

10. ;

Примеры для практических занятий:

11. ; 12) ; 13) ; 14) ;

15. ; 16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ; 22) ;

23) ; 24) ; 25) ; 26) ;

27) ; 28) .

Ответы:

11) ; 12) ; 13) 3; 14) 0,25; 15) 3; 16) 18; 17) 2,5; 18) 3; 19) –2; 20) 3; 21) ;

21. 0; 23) ; 24) ; 25) 1; 26) ; 27) 1; 28) .

Примеры для самостоятельного решения:

29) 30) 31) 32)

33) 34) 35) 36)

37) 38) 39) 40)

41) 42) 43) 44) 45)

46) 47) 48)

Ответы:

29) 1/2; 30) 5/4; 31) ½; 32) –1; 33) ; 34) –3/5; 35) - ; 36) 2/3; 37) 1/12; 38) ; 39) ;

40) ; 41) ; 42) ; 43) 1; 44) ; 45) ; 46) ; 47) 1; 48)

Практическое занятие №5.

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Контрольные вопросы.

1. Какую функцию называют непрерывной?

2. Какую точку называют точкой устранимого разрыва?

3. Дайте определение точек разрыва первого и второго рода.

Примеры с решениями:

1. При каком значении параметра а, функция будет непрерывной:

1. 

чтобы функция была непрерывной, необходимо совпадение значений в точке x=1.

или , тогда

2. 

- любое число;

3. 

теперь два неизвестных параметра у функции, но и две точки 0 и 2 для расчета параметров

или , то есть В=0

или , т.е. 4А=1, А=1/4;

2. Найти точки разрыва и исследовать их характер:

1. - функция не определена в точках и .

Вычислим односторонние пределы:

- оба предела бесконечны, следовательно, в точке 0 разрыв второго рода;

- оба предела бесконечны, следовательно, в точке 1 разрыв второго рода.

2. 

точка ;

- пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.

3. 

точка ;

- пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.

4.

на - функция непрерывна, на - функция разрывна в точке .

- разрыв второго рода;

- разрыв второго рода;

-разрыв второго рода.

Примеры для практических занятий:

1. 4.

5.

2. 5.

6. 

7. 

8. 

9. 

Ответы:

1. 4. а=3; 5. А=В=1.

2. 5. X=3 – разрыв первого рода; 6. X=2 – разрыв первого рода; 7. X=0 – разрыв второго рода ;

8. x=0 – разрыв первого рода; 9. - разрыв первого рода.

Примеры для самостоятельного решения:

1) 6.

7.

2)10.

11.

12.

13.

Ответы:

1. 6. А=1/2,В=-1; 7. А=1/2,В=0,С=1/4,D=-1/2.

2. 10. X=4 – разрыв первого рода; 11. X=3 – разрыв второго рода; 12. X=0 и x=2 – разрыв первого рода; 13. X=0 – разрыв первого рода.

Практическое занятие №6.

Производные.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определение производной. Укажите ее геометрический смысл.

2. Что характеризует производная в процессе изменения функции?

3. Какую функцию называют сложной?

4. Что такое промежуточный и основной аргументы?

5. Как находится производная сложной функции?

Примеры с решениями:

Найти производные функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

Найти производные сложной функции:

6. - это сложная функция, которую можно представить в виде «цепочки» простых функций:

, тогда ,

7. 

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

Примеры для практических занятий:

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. .

Ответы:

15) ; 16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ;

22. ; 22) ; 23) ; 24) .

Примеры для самостоятельного решения:

25. 26) 27)

28) 29) 30)

31) 32)

Ответы:

25) 26) 27) 28) 29)

30) 31) 32)

Практическое занятие №7.

Дифференцирование функций.

Контрольные вопросы.

1. Какой способ задания функции называется параметрическим?

2. Как найти производную от функции, заданной параметрически?

3. В чем состоит правило логарифмического дифференцирования?

4. Дайте определение дифференциала функции и укажите его геометрический смысл.

5. Дайте определение производных и дифференциалов высших порядков.

Примеры с решениями:

Найти производную функций, заданных параметрически:

1.

Находим

Тогда

2. при t=1.

Находим

Тогда

3.

в точке М(0,0).

Сначала определяем значение t в точке М(0,0):

откуда следует, что производная в этой точке должна иметь два значения (кривая пересекается сама с собой).

Находим

Для данной точки имеем

Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

4. 

Находим

5. 

для нахождения производной обозначим

Окончательно

Найти дифференциалы функций:

6. 

7.

8. Найти производные и дифференциалы трех первых порядков функции

Находим

Следовательно,

Примеры для практических занятий:

Найти производную функций, заданных параметрически:

9.

10. при

11. в точке

Продифференцировать функцию, используя правило логарифмического дифференцирования:

12.

13.

14.

15.

Найти дифференциалы функций:

16.

17.

Найти дифференциалы третьего порядка функций:

18.

19.

Ответы:

8. 10. 11. 12.

13. 14.

15.

16. 17. 18. 19.

Примеры для самостоятельного решения:

Найти производную функций, заданных параметрически:

20.

21. в точке

22.

Продифференцировать функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

23.

24.

25.

Найти дифференциалы функций:

26.

27.

28.

Найти дифференциалы второго порядка функций:

29.

30.

Ответы:

20. 21. 22.

23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Практическое занятие №8.

Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

2. Можно ли применять правило Лопиталя к раскрытию неопределенностей вида

Если можно, то как?

3. Дайте определение касательной и нормали к плоской кривой и запишите их уравнения.

Примеры с решениями:

Найти указанные пределы по правилу Лопиталя:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Обозначим

Тогда

6. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе в точке с абсциссой

Решение:

Находим

Определяем угловой коэффициент касательной

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Примеры для практических занятий:

Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:

7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24.

Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках.

25. в точке А(-2,5);

26. в точках пересечения с прямой y=1.

Ответы:

8. 8. 1; 9. 10. –2; 11. 12. 1; 13. 14. 15. 16. –1; 17. 0; 18. 1;

19. е; 20. 21. –2; 22. 23. 24. 25. 26.

Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:

27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34.

35. 36. 37. 38.

39. 40.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функций в заданной точке:

41.

42.

43. На линии найти точку М, в которой касательная параллельна прямой

Ответы:

27. 0; 28. 29. 30. 31. 1; 32. 1; 33. 0; 34. 35. 36. 37. 1; 38.

39. 40. 2; 41. 42. 43. при

Практическое занятие №9.

Монотонность и экстремумы функций.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте необходимое и достаточное условия монотонности функции на промежутке.

2. Дайте определение экстремума функции.

3.Сформулируйте необходимое условие экстремума. Дайте его геометрическую иллюстрацию.

4. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью первой производной.

5. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью второй производной.

6. Критические точки какого типа можно исследовать на экстремум с помощью второй производной?

7. Как находятся наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной в замкнутом промежутке?

Примеры с решениями:

1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение: Эта функция определена только при

Находим точки, «подозрительные» на экстремум:

но экстремума в точках быть не может, так как они являются концами области определения, а экстремум возможен только во внутренних точках области определения функции.

Находим промежутки монотонности и экстремумы:

X	-1,1	-1	0	1	1,1
	-	0	+	0	-
Y

Функция убывает при

Функция возрастает при

Замечание 1. Так как и являются стационарными, то исследование на экстремум можно провести с помощью второй производной.

Находим

Замечание 2. Так как функция непрерывна на замкнутом промежутке , то можно найти наименьшее и наибольшее значения функции в этом промежутке. Для этого вычисляем ее значения в точках, подозрительных на экстремум и , а также на концах промежутка и и находим

Примеры для практических занятий:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:

2. 3. 4. 5.

Найти наибольшее М и наименьшее m значения функций на замкнутом промежутке:

6. 7. 8. 9.

Ответы:

2. возрастает при убывает при

3. возрастает при убывает при

4. возрастает при убывает при

5. возрастает при убывает при

6. 

7. 

8. 

9. 

Примеры для самостоятельного решения:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:

10. 11. 12. 13. 14. 15.

Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции на замкнутом промежутке:

16.

17.

18.

Ответы:

10.убывает при возрастает при

11. убывает при возрастает при

12. убывает при возрастает при

13. убывает при возрастает при

14. убывает при возрастает при

15. убывает при возрастает при

16. 

17. 

18. 

Практическое занятие №10.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде.

Контрольные вопросы.

1. Что такое «выпуклость» и «вогнутость» кривой?

2. Что такое точка перегиба кривой?

3. Что является необходимым, а что достаточным условием существования перегиба в данной точке?

4. Дайте определение вертикальной и наклонной асимптоты кривой.

5. Как определяются параметры наклонной асимптоты кривой?

6. Изложите общую схему исследования функции

Примеры с решениями:

1. Определить точки перегиба и характер вогнутости кривой

Решение:

Находим

- критические точки на перегиб.

x	-2		-1	0	1		2
	-	0	+	0	-	0	+
y				0
		Точка Перегиба		точка перегиба		точка перегиба

Ответ:

- точки перегиба;

при - вогнутость вниз,

при - вогнутость вверх.

2. Определить асимптоты кривой

Решение:

- вертикальная асимптота, так как

Находим наклонную асимптоту:

- наклонная асимптота.

3. Провести полное исследование функции и построить эскиз графика.

Решение:

- критические точки на экстремум.

x	-4	-3	-2	-1	-1/2	0	1
	+	0	-	точка	+	0	+
y				разрыва		Экстремума нет

- критическая точка на перегиб

X	-1/2	0	1
	-	0	+
Y		0

О(0,0) – точка перегиба.

Определяем асимптоты кривой:

- наклонная асимптота.

- вертикальная асимптота, так как .

Строим эскиз графика кривой:

y

-1 2 x

-1

Примеры для практических занятий:

Определить точки перегиба и характер вогнутости (выпуклости) кривых:

4. 5. 6.

Определить асимптоты кривых:

7. 8. 9.

Провести полное исследование и построить эскизы графиков функций:

8. 11. 12.

Ответы:

4. - кривая выпукла, - кривая вогнута, точек перегиба нет;

5. - промежутки вогнутости,

- промежутки выпуклости,

- точки перегиба;

6. - промежуток выпуклости, - промежуток вогнутости, - точка перегиба;

7. 

8. 

9. 

10. - точка перегиба; - асимптоты;

11. - точка перегиба; - асимптоты;

12. - точка перегиба; - асимптоты.

Примеры для самостоятельного решения:

Провести полное исследование функций и построить эскизы графиков:

13. 14. 15. 16.

Ответы:

13. - точки перегиба,

- асимптота.

14. - абсциссы точек перегиба,

- асимптоты.

15. - точка перегиба,

- асимптоты.

16. - абсцисса точки перегиба,

- асимптоты.

Практическое занятие №11.

Непосредственное интегрирование.

Контрольные вопросы.

1. В чем состоит задача интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для данной функции f(x)? Указать ее основные свойства?

3. Дайте определение неопределенного интеграла для данной функции f(x).

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?

6. В чем состоит обобщение таблицы интегралов?

7. Укажите основные преобразования дифференциала (подведение под знак дифференциала).

Примеры с решениями:

Найти интегралы:

1) = ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) .

Ответы:

11) ; 12) ; 13) 2 ; 14) ;15) ln( ;

16) ; 17) ln ; 18) ; 19) ;

20) -2 ; 21) arcsin ; 22) - + ; 23) ;

24) - ; 25) .

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) ; 31) ;

32) ; 33) ; 34) ; 35) ; 36) dx; 37) ;

38) ; 39) ; 40) .

Ответы:

26) ; 27) - ; 28) ; 29) - ; 30) -2 ;

31) - ; 32) ; 33) - ; 34) 3 ; 35) ;

36) ; 37) - ; 38) ; 39) ; 40) .

Практическое занятие №12.

Метод замены переменной (подстановки).

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит смысл интегрирования подстановкой?

2. Каким условиям должна удовлетворять функция , используемая в качестве подстановки?

3. Указать наиболее употребительные подстановки.

Примеры с решениями:

1. = = = = + +c = + + c;

2.

3. dx = = = 2 + c = 2 + c;

2. dx = =

5.

+ с.

Примеры для практических занятий:

Используя подходящую подстановку, найти следующие интегралы:

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

Ответы:

6. – (x = ); 7. 2arctg ( ;

8. (t = ; 9. (t = lnx);

10. 2ln( (t = ;

11. ;

12. );

13. ;

14. 2 ;

15. ;

16. 17. +c (x=2tgt);

18. ;

19. 2 ;

20. .

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

21. ; 22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ;

30. ; 31. ; 32. ; 33. ;

34. ; 35. .

Ответы:

21. ; 22. ;

23. ln( ; 24. +c; 25. )+c;

26. ; 27. +c;

28. 2arcsin ; 29. ; 30.

31. 32. ;

33. 34. + c; 35. _.

Практическое занятие №13.

Интегрирование по частям.

Контрольные вопросы.

1. Записать и прочесть формулу интегрирования по частям.

2. Когда целесообразно применять формулу интегрирования по частям?

3. Указать план интегрирования по указанной формуле.

4. Перечислить основные типы интегралов, вычисляемых с помощью формулы интегрирования по частям.

5. Указать, что обозначается за U и dV в указанных выше типах интегралов.

Примеры с решениями:

Найти интегралы:

1)

2)

=

3. 

;

4)

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) ; 14) ; 15) ; 16)

Ответы:

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)