Контрольная работа

Расчёт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:

-рассчитывается цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий;

-составляется операторная схема замещения цепи;

-производится расчёт операторной схемы замещения, в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций;

-на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам.

Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рисунке 1, произведём

впредложенном порядке.

До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения. На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость - бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий, изображённой на рисунке 2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.

Е R1

IL

R2

I2

R3 IC

Рис. 2. Эквивалентная схема для расчёта независимых начальных условий

Ток в ветви с источником определим по закону Ома

Напряжение на резисторе R2 приложено к ёмкости: uC (0-) = i2 (0 -)× R2 = 31.0 (B).

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут изменяться скачком. Следовательно

iL (0−) = iL (0+) = 1.00 (А), uC (0−) = uC (0+) = 31.0 (B).

При составлении операторной схемы замещения все элементы цепи замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением pL, ёмкость - операторным

ёмкостным сопротивлением pC1 ; активное сопротивление не изменяется. При

этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с ёмкостью дополнительными источниками ЭДС (рис. 3).

Рис. 3. Преобразование реактивных элементов с начальными условиями

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рисунке 4.

I11(р)

R2

1

рС

Рис. 4. Операторная схема замещения цепи

Для расчёта операторной цепи может быть применён любой известный метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при

надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.

Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление R2. Тогда контурные токи I11(p) и I22(p) будут равны изображениям токов в ёмкости и индуктивности.

Уравнения, описывающие цепь на рисунке 4 по методу контурных токов,

запишутся в виде

= 0.984р + 2259

I22 (p) p2 + 20784p + 77522950 .

Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости

запишется в виде

Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по

Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов

F(p)= M((p)),

N p

то оригинал находится по выражению

f (t)= ån M/((pk ))epk×t ,

k=1 N pk

где рк – к-й корень характеристического уравнения N(p)=0; n – порядок характеристического уравнения;

N/ (pk ) - производная полинома N(p).

Ток в индуктивности равен IL (p) = I11(p) , поэтому тока в индуктивности iL(t)

запишем

M(p) = 1.000р +17580;

N(p) = p2 + 20784p + 77522950; N/ (p) = 2p + 20784.

Решая характеристическое уравнение p2 + 20784p + 77522950=0, находим два

Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное раньше изображение UC(p) и свойство линейности Лапласа. Сумме изображений

UC (p) = U1 (p) + U2 (p)

будет соответствовать сумма оригиналов

uC (t) = u1 (t) + u2 (t).

Введём обозначения

Оригинал u2 (t) определим используя теорему разложения. Характеристическое уравнение N(p) = 0 имеет три корня: p1 = −4872, p2 = −15912 и p3 = 0.

Следовательно,

После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим

u2 (t)= −50.2e-4872×t + 81.2e-15912t − 31.0 (В).

Суммируя u1(t) и u2 (t), находим полное переходное напряжение на ёмкости uС (t) = −50.2e-4872×t + 81.2e-15912t В.

Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной

части корня характеристического уравнения и равна

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой

задачи

0.2

Рис. 5. Закон изменения тока индуктивности