Контрольная работа №1 и №2. Вар

Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2 * 3 4 * 3 1* 3 3

.3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

201.16 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Контрольная работа №1

Варианты 1 – 10. Даны три комплексных числа z1, z2 и z3 :

1)	выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
2)	найдите расстояние между точками z1 и z3 на комплексной плоскости.
3. z 2 3 2i,		z		1 3i,	z 4 4i,	z	z z 4
			2				1 2

	1				3		z32

Решение.

1) выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

z1 2						3 2i
	z1				2 3 2 22 4								5
	z1				2 3 2 22 4
tg						2			1
tg					2		3	3					6
					2		3	3					6
				z	4 cos 5 i sin					5		4e		5	i
				z	4 cos 5 i sin					5		4e		6	i
		1						6			6
								6			6
z2			1			3i
	z2				1 3 2
	z2				1 3 2
tg						3	3
tg						1	3				3
						1					3

z2 2 cos 3 i sin 3 2e 3 i

	z3	4 4i
	z3			16 16		4	2
	z3			16 16		4	2
tg				4	1				7
				4					4
			z3				7	i sin		7		7	i
							7			7			i
					4 2 cos		4			4	4 2e 4
							4			4
а) В алгебраической форме.
	z 2 3 2i 1 3i 4								2 3 2i 1 2 3i 3 2						2 3 2i 2 2 3i 2
					4 4i 2						16 32i 16				32i
2 3 2i 4 8 3i 12											2 3 2i 1 3i			2 3 2i 6i 2 3		3 i
						32i						4i			4i	i
1				3i

б) В тригонометрической форме.

					5			i sin					5																	i sin										4								5					5								4		4
		4 cos															* 2				cos																						4	cos					i sin							*16		cos				i sin
		4 cos				6								6			* 2				cos						3									3							4	cos					i sin							*16		cos				i sin
z						6								6													3									3												6						6						3			3
z																7										7				2																									7		i sin		7
																7										7				2																									7				7
								4			2	cos							i sin																														32			cos			2					2
								4			2	cos				4			i sin								4																						32			cos
																4											4
2			5				i sin					5										4				i sin						4								2					13			i sin			13
2	cos			6			i sin					6		*			cos					3				i sin							3							2		cos				6		i sin				6
				6								6										3											3													6						6
												7			i sin					7																									7		i sin			7
												7								7																									7					7
								cos				2									2																					cos				2					2
												2									2																									2					2
						4												4												1					3
2	cos									i sin														2														i			1					3i
2	cos						3			i sin								3						2						2			2					i			1					3i
							3											3												2			2
в) В показательной форме.
		5 i		*					i 4
		4e 6		*			2e 3										5 i								4 i									4								2
															4e 6				*16e 3										2e					4			i					2	i
z															4e 6				*16e 3															3			i		2e 3				i
z							7		i		2										7		i											3					2e 3
											2						32e				7
																						2

		4		2e 4

			2									2										1						3
2	cos						i sin									2															i		1									3i
2	cos			3			i sin					3				2						2						2			i		1									3i
				3								3										2						2

2) найдите расстояние между точками z1 и z3 на комплексной плоскости.


Координаты точки z1		2 3; 2 .
Координаты точки z3		4; 4 .
Расстояние между точками z1 , z2 :
d	4 2 3 2 4 2 2 4		4	3 9,577

Варианты 11 – 20. Решите уравнение на множестве комплексных чисел.

13. z4				6z2 36 0
Решение.
	D 36 144 108
	z2	6							108						3 3										3i
							2
	Пусть				w1				3 3									3i,							w2			3 3 3i.
	w1			9 27							6
	w1			9 27							6
tg				3 3						3																		4
					3																							3
			w1										4			i sin								4
						6		cos
						6		cos					3											3
													3											3
																	4					2 k											4			2 k
																																												cos			2 k				i sin 2				k
	z			w														3											i sin				3																									k 0,1
											6		cos					3															3										6														,
											6		cos																														6														,
1,2					1																		2													2											3							3
																							2													2											3							3


	z1									2				i sin					2										3				3		i
				6	cos					3										3									2
				6	cos																												2
																																	2
	z2										2									i sin							2										3				3		i
				6	cos							3																	3								2
				6	cos																																				2
																																									2
	w2				9 27							6																2
	w2				9 27							6
tg				3 3					3
				3																								3
			w2											2		i sin									2
						6			cos
						6			cos				3											3
													3											3
																		2					2 k											2			2 k
																																												cos						i sin						,
	z			w														3											i sin					3															k					k				k 0,1
												6		cos				3																3									6
												6		cos																													6
3,4					2																		2													2											3
																							2													2											3					3


	z3											i sin															3				3	i
				6	cos					3								3									2
				6	cos																										2
																															2
																																					3			3
	z4			6	cos							3						i sin										3									2					i
	z4			6	cos													i sin																						2		i
																																								2
Ответ:					z								3			3					i,				z					3			3			i,		z					3		3	i,	z				3	3	i .
Ответ:					z								3								i,				z	2				3						i,		z	3				3			i,	z	4			3		i .
					1								2					2								2				2			2						3				2	2				4			2	2
													2					2												2			2										2	2							2	2

Варианты 21 – 30. Решите систему уравнений тремя способами:

1)методом Крамера;

2)методом обратной матрицы;

3)методом Гаусса.

	2x		x	x	7
		1	2	3
23.	4x1		x2	2x3 11
	x	2x		x	2
	1		2	3

Решение.

Найдем определитель матрицы системы:

Т. к. 0 , следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

1) методом Крамера;


		7			1	1
		7			1	1
1		11			1	2			6
		2			2	1
				2	7	1
				2	7	1
2				4	11	2		3
				1	2	1
			2		1	7
			2		1	7
3			4		1	11	6
			1		2	2
x	1				6	2			x	2	3	1	x	3	6	2
1					3				2		3		3		3

2) методом обратной матрицы;
	2 1			1		x1		7
A		4	1	2	X	x	B	11
						2
		1	2	1		x			2
						3

AX B

X A 1 B

Найдем обратную матрицу:

	1	A11		A21	A31
A 1	1	A		A	A
A 1		A		A	A
			12	22	32
	A			A	A
			13	23	33

			1 2						3											4 2			2							4 1
A			1 2						3								A			4 2			2				A			4 1			7
11			2 1														12			1 1							13			1 2
A					1		1			3							A	2 1			1						A				2	1		5
A					1		1			3							A	2 1			1						A				2	1		5
21					2		1										22	1		1							23				1	2
					2		1											1		1											1	2
A			1 1					3								A			2 1			0				A			2 1
A			1 1					3								A			2 1			0				A			2 1				6
31			1 2														32		4 2								33		4 1
			1		3		3				3
A	1		1			2			1		0
A			3			2			1		0
			3			7	5				6
						7	5				6
		1	3				3				3		7		1	3* 7 311 3 2								1	6			2
X		1		2			1				0				1		2 * 7 111 0 2							1	3			1
X		3		2			1				0	* 11			3		2 * 7 111 0 2							3	3			1
		3			7		5				6		2		3		7 * 7 5 11 6 2							3	6			2
					7		5				6		2				7 * 7 5 11 6 2								6			2
x1 2										x2 1				x3 2

3) методом Гаусса.

2		1		1			7		1		2 1		2	1	2 1			2		1		2	1			2
2		1		1			7		1		2 1		2	1	2 1			2		1		2	1			2
	4	1		2						4	1 2			0	7 2			3			0	1 2 / 7				3 / 7
	4	1		2		11				4	1 2		11	0	7 2			3			0	1 2 / 7				3 / 7
	1	2		1						2	1 1			0	5 1			3			0	5		1		3
	1	2		1			2			2	1 1		7	0	5 1			3			0	5		1		3
							2						7											1 0 0			2
	1		2		1				2		1 2		1		2	1		2 0				0
	1		2		1				2		1 2		1		2	1		2 0				0
		0	1 2 / 7						3 / 7			0 1 2 / 7		3 / 7			0 1		0			1			0 1 0		1
		0	1 2 / 7						3 / 7			0 1 2 / 7		3 / 7			0 1		0			1			0 1 0		1
		0	0	3 / 7				6 / 7				0 0	1		2		0 0		1			2			0 0 1		2
		0	0	3 / 7				6 / 7				0 0	1		2		0 0		1			2			0 0 1		2

x1 2							x2 1				x3 2
Ответ:				x1 2,			x2		1,		x3	2 .

Варианты 31 – 40. Даны три вектора a1, a2 и a3. Докажите, что векторы a1, a2 , a3 образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

33.		1; 2; 2 ,		3; 2; 1 ,		4; 2; 3
	a1		a2		a3
Решение.

Составим матрицу из векторов a1 , a2 , a3 :


1			2	2
		3	2
A				1
		4	2	3

Найдем определитель матрицы А:
	1		2	2	1* 4 2 * 5 2 * 2 18 0, следовательно, вектора						линейно

	3		2	1			,		,
						a1		a2		a3
	4		2	3

независимы и образуют базис.

Т. к. 0, то вектора a1 , a2 , a3 образуют левую тройку.

Варианты 41 – 50. Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4. Найдите:

1)угол между ребрами A1A2 и A1 A4 ;

2)площадь грани A1 A2 A3;

3)высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3;

4)уравнение прямой, проходящей через ребро A1 A2;

5)уравнение плоскости, которой принадлежит грань A1 A2 A3.

6)массу материальной треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 , изготовленной из меди плотности

8,9 г/ см3 (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

43. A1 2; 3;1 ,	A2 1; 2; 2 ,	A3 3; 1; 1 ,	A4 1;3; 2
Решение.

1) угол между ребрами A1A2 и A1 A4 .

Найдем угол межу векторами A1 A2 и A1 A4 .

A1 A2 1;1;1

A1 A4 1; 6;1

1* 1 1* 6 1*1

cos

A1 A2

A1 A4

0, 7493

A1 A2

A1 A4

12 12 12 * 12 62 12

arcco 0, 7493 41 28

2) площадь грани A1 A2 A3 .

S 12 * A1 A2 A1 A3

			1; 2; 2
A1 A3			1; 2; 2
								i
								i		j		k
								1	1		1		4i		3
A1 A2				A1 A3				1	1		1		4i	j	3	k
								1	2		2
							42			12 32 26
	A A				A A		42			12 32 26
1		2		1		3
S		1			26 2,550
		2

3) высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Объем пирамиды равен 1 модуля смешанного произведения векторов																																	,			,			:
																															A A		,	A A		,	A A		:
																			6											1		2		1	3		1	4
V 1																*			6
			*

						A1 A2						A1 A3							A1 A4
6																	1
6																					1	1
								*													1	1			114 1 1 1*8 5
																			1		2		2
		A1 A2		A1 A3							A1 A4								1		2		2
																	1				6	1
V 1			* 5 5
6			6
Т. к. объем пирамиды равен V																								1 hS , то высота равна:
									5															3
h 3V							3 *		5						5
							3 *		6						5					0, 981
															26					0, 981
		S	1						26						26
			2						26
			2
4) уравнение прямой, проходящей через ребро A1 A2 .
	x 2			y 3										z 1						или			x 2			y 3			z 1
														2 1						или
	1 2				2 3									2 1									1	1				1
5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань A1 A2 A3 .
	x 2		y 3								z 1									x 2 y 3 z 1							x 2 * 4 y 3 1 z 1 3
	x 2		y 3								z 1									x 2 y 3 z 1
	1 2 2 3									2 1								1				1				1
	3 2 1 3 1 1																		1			2			2
4x y 3z 8 0
Т. е. уравнение плоскости A1 A2 A3 : 4x y 3z 8 0 или																														4x y 3z 8 0 .
6) массу материальной треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 , изготовленной из меди плотности
	8,9 г/ см3 (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).
	M V 8, 9 *												5		7, 417 г
													6

Варианты 51 – 60. Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением:

1)на плоскости;

2)в пространстве.

53. 16x2 25y2 96x 100 y 156 0

Решение.
1) на плоскости.
16x2 25y2 96x 100 y 156 0
16	x 3 2 9 25 y 2 2			4 156 0
16	x 3 2	25 y 2 2 400
x 3 2		y 2 2	1
	52	42

Графиком является эллипс с центром в 3; 2 , с полуосями a 5,					b 4 :

2) в пространстве.

x 3 2	y 2 2	1 - это уравнение эллиптического цилиндра, образующие, которого,
52	42

параллельны оси OZ. Сечения плоскостями z const являются эллипсами.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
01.04.201494.18 Кб22Контрольная работа № 6 ИСиТвЭ (1 курс 2 семестр).pdf
#
01.04.2014225.44 Кб79контрольная работа №1 - вариант 2 - 1й семестр.docx
#
01.04.2014656.65 Кб153контрольная работа №1 1 курс 1 семестр.docx
#
01.04.2014529.92 Кб16Контрольная работа №1 вар 4 ПОИТ.doc
#
01.04.2014659.62 Кб43Контрольная работа №1 вариант 7.docx
#
01.04.2014201.16 Кб26Контрольная работа №1 и №2. Вар.3.pdf
#
01.04.2014461.31 Кб21Контрольная работа №1 часть 1 вариант 4.doc
#
01.04.2014294.91 Кб11Контрольная работа №1(1).doc
#
01.04.2014836.61 Кб15Контрольная работа №1, 2 - вариант 4.doc
#
01.04.2014131.85 Кб26Контрольная работа №1,2 сдана в 2013 году.docx
#
01.04.2014439.81 Кб17Контрольная работа №1,2 ФЗО 1 курс.doc


		7			1	1
		7			1	1
1		11			1	2			6
		2			2	1
				2	7	1
				2	7	1
2				4	11	2		3
				1	2	1
			2		1	7
			2		1	7
3			4		1	11	6
			1		2	2
x	1				6	2			x	2	3	1	x	3	6	2
1					3				2		3		3		3


		7			1	1
		7			1	1
1		11			1	2			6
		2			2	1
				2	7	1
				2	7	1
2				4	11	2		3
				1	2	1
			2		1	7
			2		1	7
3			4		1	11	6
			1		2	2
x	1				6	2			x	2	3	1	x	3	6	2
1					3				2		3		3		3


		7			1	1
		7			1	1
1		11			1	2			6
		2			2	1
				2	7	1
				2	7	1
2				4	11	2		3
				1	2	1
			2		1	7
			2		1	7
3			4		1	11	6
			1		2	2
x	1				6	2			x	2	3	1	x	3	6	2
1					3				2		3		3		3