Контрольная работа №1 и №2. Вар

Решение.

11

9

n 1 n 3 2

n n 2 2

3n2

11n 9

3

n

3 0 0

1

lim

lim

lim

n2

3n

1

3n

1

3n

1 3n

1

3

1

3

1

3

0 3

0

3

n

n

n

n

n

б) lim

2n 1 ! 2n 1 !

n

4n 2n ! 2n 1 !

Решение.

2

1

2n 1 ! 2n 1 !

2n 2n 1 1

4n2 2n 1

4 n

4

lim

lim

lim

lim

n2

0,5

4n 2n ! 2n 1 !

4n * 2n 1

8n2 1

1

8

n

n

n

n

8

n2

3n2 2n 4

n 1

3

n 1

lim

lim 1

3n

2

2n 1

3n

2

2n

1

n

n

n

3

1

g n

f n

f n

f

3n2 2n 1

lim 1

f n

g n

1 f

n

lim

n

n 1

n

n

g

1

3 1

n

3

3 n 1

3

1

lim eg n f n lim e n 1 *

lim e

lim e3n

2 n

lim e

e0

1

3n2 2n 1

3n2 2n 1

3n 2

n

n

n

n

n

sin arctg

2

2x

4

* 2 arctg 2x

4

*

1

3

16x3

* sin arctg

2

2x

4

* arctg 2x

4

y

1 2x4 2 * 8x

1 4x8

б)

y

x2

3x 2

e3x

2x 3

* e3x x2

3x 2 * 3e3x

2 x

2

3x

1

2x 3

y

2

3 x2

3x 2

e6 x

e3x

2

x2 3x 2

в) y ln

4

x 4

5 x 2 3 x 1 2

Решение.

1

3

* 5 x 2 3 x 1 2

4 x 4 *

* x 1 2 5 x 2 3 * 2 x 1

5

x 2

3

x 1

2

4

4

x

4

55

x 2

2

y

*

4 x 4

5 x 2 6 x 1 4

1

3

2

4 x 4

5 x 2

x 1

83. lim

ln sin 2x

cos 2x

x

4

Решение.

1) не пользуясь правилом Лопиталя.

lim ln sin 2x

lim ln sin 2x cos 2 x

1

x

cos 2x

x

4

4

1

1

z

1

lim sin 2x

lim

1 cos2

2x

cos 2 x

cos 2 x

x 4

x 4

cos 2x

z

1

1

g z f z

f z

lim

1

1

f z z2

lim

1

f z

g z

lim

1

f z

z

z

2

z

z

g z z

1

1

lim eg z f z lim e

z*

lim e

e0

1

z2

z

z

z

z

lim ln sin 2x lim ln sin 2x cos 2 x

ln1 0

1

x

cos 2x

x

4

4

2) используя правило Лопиталя.

ln sin 2x

2 cos 2x

cos 2x

lim cos 2x

0

lim

lim

sin 2x

lim

0

2sin 2x

sin2 2x

1

x

cos 2x

x

x

x

1

4

4

4

4

93. u arctg xy2 z ,

M0 2;1; 0 ,

2i 2

a

j

k

Решение.

ux

y2

ux M0

1

1 xy2

z 2

5

uy

2xy

uy M0

4

1 xy2

z 2

5

uz

1

uz M0

1

1 xy2

z 2

5

2i 2

j

k

2 i

2

1

l

j

k

22 22 12

3

3

3

103.

u lg 1 3y x

2

y

3

z

2

sin x

3

z

3

,

4u M0

y2 x z

Решение.

u

3

3x

2

y

2

z

2

y

1 3y ln10

2u

9

6x2 yz2

2 y

1

3y 2 ln10

3u

12xyz2

2 y x

4u

24xyz

y2 x z

4u M0

24

y2

x z

2

4

а)

x

dx

4

16

x

Решение.

x2 4

dx

x2 4

dx

1

dx

1

arctg

x

C

x

4

16

x

2

4 x

2

4

2

2

x

2

2

2

б)

ln3

2x 1

dx

2x 1

Решение.

ln3 2x 1

dx

1

ln3 2x

1 d ln 2x 1 1

ln5 2x 1 C

2

2x 1

5

в)

x x 3 sin 3xdx

Решение.

udv uv vdu

x2 3x;

x x 3 sin 3xdx x2 3x sin 3xdx u

dv sin 3xdx

2x

3 dx;

du

v 1 cos 3x

3

uv vdu

udv

13 x2

3x cos 3x 13 2x

3 cos 3xdx

u 2x 3;

dv cos 3xdx

2dx;

v

1 sin 3x

du

3

1

x

2

3x cos 3x

1

1

2x

3 sin 3x

2

3

3

3

3

sin 3xdx

1

x

2

3x cos 3x

1

1

2x

3 sin 3x

2

2

1

2

1

2x 3 sin 3x C

cos 3x

C

x

x

cos 3x

3

3

3

9

27

3

9