Задание 62
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
4х2+ 2ху + 3у2= 24.
Решение
Левая часть уравнения 4х2+ 2ху + 3у2= 24 представляет собой квадратичную форму с матрицей.
Решаем характеристическое уравнение
т.е..
(4 – λ)(3 – λ) – 6 = 0;
12 – 7λ + λ2– 6 = 0;
λ2– 7λ + 6 = 0;
D= 49 – 24 = 25;
λ1= (7 – 5) / 2 = 1, λ2= (7 + 5) / 2 = 6.
λ1= 1, λ2= 6 – характеристические числа.
Находим собственные векторы из системы уравнений .
Полагая λ = λ1= 1, получаем систему уравнений для первого вектора:
х1= –х2.
Пусть х2=, тогда х1= –и– собственный вектор, соответствующий λ1=1.
Полагая λ = λ2= 6, получаем систему уравнений для второго вектора:
х2=х1.
Пусть х1=, тогда х2=и– собственный вектор, соответствующий λ2= 6.
Нормируем собственные векторы , получаем,. Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам. Выполняя преобразование
или
Найденные для х и у выражения подставим в исходное уравнение кривой:
4 · (–х′ +у′)2+ 2·(–х′ +у′)(х′ +у′) + 3 ·(х′ +у′)2– 24 = 0;
2х′2– 2х′у′ + 3у′2 ) +–х′2–2 х′у′ +3 х′у′ +у′2)+(3х′2+х′у′+ + 2у′2)– 24 = 0;
х′2 –х′у′ +у′2 –х′2+х′у′ +у′2+х′2+х′у′ +у′2–24 = 0;
х′2+ 6у′2– 24 = 0;
– каноническое уравнение эллипса.
Задание 72
Построить график функции у = –3sin(2x+ 3) преобразованием графика функцииy=sin x.
Решение
Строим график функции y=sin x, затем строим график функцииy=sin 2xсжатиемy=sin xв 2 раза к оси Оу. Графикy=sin(2x+ 3) =sin2(x+ ) получается параллельным переносом графикаy=sin2xв отрицательном направлении оси Ох на. Растяжением в 3 раза вдоль оси Оу и отображением относительно оси Ох графикаy=sin(2x+ 3) получаем график функции у = – 3sin(2x+ 3).
Изобразим соответствующие графики:
Задание 82
Дана функция r=на отрезке 0φ2π. Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, даваязначения через промежуток/8, начиная от=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение
1) Составим таблицу:
|
φ |
cos φ |
r= |
1 |
0 |
1 |
1,2 |
2 |
π/8 |
0.924 |
1,24 |
3 |
π /4 |
0,707 |
1,36 |
4 |
3π/8 |
0,383 |
1,59 |
5 |
π/2 |
0 |
2 |
6 |
5π/8 |
-0.383 |
2,69 |
7 |
3π/4 |
-0,707 |
3,78 |
8 |
7π/8 |
-0,924 |
5,21 |
9 |
π |
-1 |
6 |
10 |
9π/8 |
-0,924 |
5,21 |
11 |
5π/4 |
-0,707 |
3,78 |
12 |
11π/8 |
-0,383 |
2,69 |
13 |
3π/2 |
0 |
2 |
14 |
13π/8 |
0,383 |
1,59 |
15 |
7π/4 |
0,707 |
1,36 |
16 |
15π/8 |
0,924 |
1,24 |
17 |
2π |
1 |
1,2 |
Проведем из начала координат лучи под углами 0, к полярной оси и отложим на них соответствующие значенияr. Соединим эти точки плавной линией и получим изображение кривой.
Сделаем чертеж:
Найдем уравнение этой кривой в декартовых координатах. Для этого подставим в исходное уравнение r=,cosφ=.
Получим: =.
Преобразуем это соотношение: =;
3+ 2x= 6;= 6 – 2x.
Возведем обе части равенства в квадрат:
9(х2+ у2) = (6 – 2x)2; 9х2+9у2= 36 – 24x+ 4x2;
5х2+24x+9у2 –36=0.
Выделим полный квадрат по переменной x:
5(х2+)+9у2 –36=0;
5(х2+9у2 –36=0;
5(x+)2– +9у2 –36=0;
5(x+)2+9у2 =;
Разделим обе части на :
Получим уравнение эллипса с полуосями a=b=, центр которого сдвинут влево по оси Ох на.