Задание 32
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А =
данной системы и ранг расширенной матрицы
.
Поменяем местами первую и третью строку.
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–5), получим:
К третьей строке прибавим вторую, умноженную на –, получим:
.
Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3, т.е. числу неизвестных. Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
1. Решим систему методом Гаусса. Последней матрице соответствует система:
Прямой ход метода Гаусса завершен. Обратным ходом находим:
х3= 0; х2= – 1; х1= 1 – 2х2–3 х3= 1 + 2 = 3.
Итак, х1=3; х2= – 1; х3= 0 – решение системы.
2. Для нахождения решения системы матричным методом, перепишем систему в матричной форме: , где А =,.
Решение системы в матричной форме имеет вид:
Находим определитель Δ основной матрицы системы:
или, где– алгебраические дополнения элементовматрицы А.
Запишем и вычислим определитель матрицы A:
Δ = = –5 · 3 · 3 – 2 · 2 · 1 + 1 · 2 · 8 – 1 · 3 · 1 – 2 · 2 · 5 – 3 · 2 · 8 =
= –45 – 4+ 16 – 3 –20 – 48 = – 104.
Обратная матрица существует, так как Δ = – 104 0.
Находим алгебраические дополнения:
А11= (–1)1+1·= – 9 – 4 = –13; А12= (–1)1+2·= –(6 – 2) = – 4;
А13= (–1)1+3·= 4 + 3 = 7; А21= (–1)2+1·= –(24 + 2) = – 26;
А22= (–1)2+2·= 15 +1 = 16; А23= (–1)2+3·= –(10 – 8) = –2;
А31= (–1)3+1·= 16 – 3 = 13; А32= (–1)3+2·= –(10 +2) = –12;
А33= (–1)3+3·= –15 –1 6 = –31.
Составим обратную матрицу:
.
Находим матричное решение системы:
Х =.
Отсюда следует, что х1= 3; х2= –1; х3= 0.
Ответ: х1= 3; х2= –1; х3= 0.
Задание 42
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Решение
С помощью элементарных преобразований найдем ранг основной матрицы системы:
.
Поменяем местами первую и вторую строки, затем умножим первую строку на (–) и сложим со второй, умножим первую строку на (–2) и сложим с третьей, получим:
.
Ранг системы равен r= 2, а число неизвестныхn= 4. Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системыn–r= 4 – 2 = 2. Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид:
2х1– 3х2– 2х3+ х4= 0, 2х1– 3х2= 2х3– х4, 2х1= 2х3– х4+(–8х3+х4),
х2+ 4х3–х4= 0,х2= –8х3+х4, х2=–8х3+х4),
х1= –х3+х4,
х2=х3+х4,
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:
,
где и– произвольные числа. Вектор-столбцыиобразуют базис пространства решений данной системы.
Полагая х3= с1, х4= с2, где с1, с2– произвольные постоянные, получим общее решение в векторном виде.
Задание 52
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
.
Решение
Составляем характеристическое уравнение матрицы
;
(–3 – λ) (1 – λ) ( 4 – λ) – (4 – λ) (–2) 2 = 0;
– (3 + λ) (1 – λ)(4 – λ) + 4(4 – λ) = 0;
– (4 – λ)( (3 + λ) (1 – λ) –4) = 0;
– (4 – λ) (3 – 2 λ –λ2– 4) = 0;
(4 – λ) (λ2+ 2 λ+1) = 0;
(4 – λ) = 0 или λ2+ 2λ + 1 = 0;
λ1=4;D= 4 – 4 = 0;
λ2,3=.
λ1= 4,λ2,3= –1 – собственные значения линейного преобразования.
Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений:
(–3 – λ)х1+ 2 х2= 0,
–2 х1+ (1 – λ)х2= 0,
15 х1– 7х2+ (4 – λ)х3= 0,
При λ1= 4 получим систему:
–7 х1+ 2х2= 0, х1=х2, х1= 0,
– 2х1– 3х2= 0,х2= 0,х2= 0,
15х1–7 х2+0 х3= 0, х3– любое, х3– любое.
Таким образом, числу λ1= 4 соответствует собственный вектор
, где х3 – произвольное действительное число.
В частности, при х3= 1 имеем.
При λ2,3= –1 получим систему:
–2х1+2 х2= 0, х1= х2,
–2 х1+2х2= 0,х2– любое,
15 х1– 7х2+ 5х3= 0, х3= –х2
Числу λ2,3= – 1 соответствует собственный вектор
, где х2 – произвольное действительное число.
В частности, при х2= 1 имеем.
Итак, матрица А имеет три собственных значения λ1= 4, λ2= – 1 (кратности 2).
Соответствующие им собственные векторы (с точностью до постоянного множителя) равны и.