Задача 11. Обработка двухмерной выборки Условие задачи

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка №23:

( -0.47; 1.82) ( 2.93; -1.50) ( 3.74; -0.81) ( 3.67; 0.97) ( 7.27; -4.14) ( 5.77; -2.92) ( 3.14; -0.74) ( 4.15; -0.08) ( 4.10; 0.92) ( 3.94; 0.25) ( 3.15; 0.90) ( 2.41; 1.50) ( 4.68; -1.00) ( 4.57; -2.35) ( 3.15; 1.63) ( 3.56; 0.98) ( 7.35; -4.63) ( 0.72; -1.72) ( 8.86; -5.91) ( 7.92; -2.57) ( 2.08; 0.59) ( 5.00; -2.73) ( 9.77; -7.25) ( 5.72; -2.99) ( 1.08; 4.58) ( 4.25; -2.23) ( 7.80; -5.02) ( 5.59; 1.58) ( 3.94; -2.71) ( 2.02; -0.44) ( 3.80; -1.06) ( 4.06; 2.72) ( 3.00; 0.41) ( 5.69; -0.50) ( 4.74; -3.52) ( 6.42; -3.47) ( 1.14; 3.43) ( 2.07; 2.99) ( 4.15; 2.25) ( 8.03; -2.70) ( 6.89; -4.06) ( 7.58; -2.45) ( 5.83; -2.78) ( 3.23; -0.51) ( 6.10; -4.32) ( 5.98; -3.09) ( 4.55; -1.75) ( 6.84; -1.28) ( 3.34; 1.33) ( 1.48; 3.69)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7. Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x2	y2	x*y
1	-0,47	1,82	0,2209	3,3124	-0,8554
2	2,93	-1,5	8,5849	2,25	-4,395
3	3,74	-0,81	13,9876	0,6561	-3,0294
4	3,67	0,97	13,4689	0,9409	3,5599
5	7,27	-4,14	52,8529	17,1396	-30,0978
6	5,77	-2,92	33,2929	8,5264	-16,8484
7	3,14	-0,74	9,8596	0,5476	-2,3236
8	4,15	-0,08	17,2225	0,0064	-0,332
9	4,1	0,92	16,81	0,8464	3,772
10	3,94	0,25	15,5236	0,0625	0,985
11	3,15	0,9	9,9225	0,81	2,835
12	2,41	1,5	5,8081	2,25	3,615
13	4,68	-1	21,9024	1	-4,68
14	4,57	-2,35	20,8849	5,5225	-10,7395
15	3,15	1,63	9,9225	2,6569	5,1345
16	3,56	0,98	12,6736	0,9604	3,4888
17	7,35	-4,63	54,0225	21,4369	-34,0305
18	0,72	-1,72	0,5184	2,9584	-1,2384
19	8,86	-5,91	78,4996	34,9281	-52,3626
20	7,92	-2,57	62,7264	6,6049	-20,3544
21	2,08	0,59	4,3264	0,3481	1,2272
22	5	-2,73	25	7,4529	-13,65
23	9,77	-7,25	95,4529	52,5625	-70,8325
24	5,72	-2,99	32,7184	8,9401	-17,1028
25	1,08	4,58	1,1664	20,9764	4,9464
26	4,25	-2,23	18,0625	4,9729	-9,4775
27	7,8	-5,02	60,84	25,2004	-39,156
28	5,59	1,58	31,2481	2,4964	8,8322
29	3,94	-2,71	15,5236	7,3441	-10,6774
30	2,02	-0,44	4,0804	0,1936	-0,8888
31	3,8	-1,06	14,44	1,1236	-4,028
32	4,06	2,72	16,4836	7,3984	11,0432
33	3	0,41	9	0,1681	1,23
34	5,69	-0,5	32,3761	0,25	-2,845
35	4,74	-3,52	22,4676	12,3904	-16,6848
36	6,42	-3,47	41,2164	12,0409	-22,2774
37	1,14	3,43	1,2996	11,7649	3,9102
38	2,07	2,99	4,2849	8,9401	6,1893
39	4,15	2,25	17,2225	5,0625	9,3375
40	8,03	-2,7	64,4809	7,29	-21,681
41	6,89	-4,06	47,4721	16,4836	-27,9734
42	7,58	-2,45	57,4564	6,0025	-18,571
43	5,83	-2,78	33,9889	7,7284	-16,2074
44	3,23	-0,51	10,4329	0,2601	-1,6473
45	6,1	-4,32	37,21	18,6624	-26,352
46	5,98	-3,09	35,7604	9,5481	-18,4782
47	4,55	-1,75	20,7025	3,0625	-7,9625
48	6,84	-1,28	46,7856	1,6384	-8,7552
49	3,34	1,33	11,1556	1,7689	4,4422
50	1,48	3,69	2,1904	13,6161	5,4612
среднее	4,5356	-1,0138	25,471	7,782074	-9,13051

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью . По таблице функции Лапласа:

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа .

Так как , то гипотеза не _­принимается , т.е. величины икоррелированны.

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии + .