РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
.pdf
|
|
|
|
|
-7 |
|
3 |
|
|
|
-21 |
|
|
|
147 |
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
1 |
|
|
|
-5 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
2 |
|
|
|
-8 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
4 |
|
|
|
-4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
10.0 |
|
-38.0 |
|
|
208 |
|
||||
|
|
|
− 38 |
|
|
|
|
|
|
208 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xв = |
|
|
= −3.8 |
|
Dв = |
10 |
− (− 3.8) = 20,8 – 14,44 = 6,36 |
|||||||||
|
10 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
n |
= |
10 |
|
||
Исправленную дисперсию s |
найдем по формуле |
s |
|
|
Dв |
9 6.36 = 7,07 |
|||||||||||
|
n −1 |
||||||||||||||||
Исправленное среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из исправленной дисперсии
|
s = s2 = 7.07 = 2,66 |
Тема 5: |
По выборке объемом п определены выборочное среднее xв и исправленное |
среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии σ2. Принять Р = 0,95.
Решение(1):
Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания имеет вид:
xв - t
×ns £ a £ xв + t ×ns .
По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять
F(t) = |
g |
= |
|
0.95 |
|
= 0.475 Þ t =1.96 |
|||
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
Тогда доверительный интервал имеет вид: |
|
|
|
||||||
1,32 - 1.96 |
×0,3 |
£ a £1,32 - 1.96 |
×0,3 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
16 |
|
|
16 |
|
|||
1,32 − 0,147 ≤ a ≤1,32 + 0,147
1,47 ≤ a ≤1,17
Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:
(n −1)s2 |
< D(X ) < |
(n −1)s2 |
|
χ 2 |
χ 2 |
||
|
|||
2 |
|
1 |
Для величины χ12 вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;
Для величины χ22 вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025
По числу степеней свободы, равному п–1 = 15, находим из таблицы распределения χ2
Находим χ12 = 6,26 и χ22 = 27,5
21
Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:
15 ×0,32 |
< D(X ) < 15× 0,32 |
27,5 |
6,26 |
0,05 < D(X ) < 0,22
Решение(2):
Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания имеет вид:
xв - t
×ns £ a £ xв + t ×ns .
По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять
F(t) = |
g |
= |
0.95 |
= 0.475 Þ t =1.96 |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
Тогда доверительный интервал имеет вид:
10,24 - 1.96 ×1,4 £ a £10,24 - 1.96 ×1,4
25 
25
10,24 − 0,55 ≤ a ≤10,24 + 0,55
9,69 ≤ a ≤10,79
Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:
|
(n -1)s2 |
< D(X ) < |
(n -1)s2 |
|
c 2 |
c 2 |
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
Для величины c 2 |
вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975; |
||
1 |
|
|
|
Для величины c22 вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025
По числу степеней свободы, равному п–1 = 24, находим из таблицы распределения c2
Находим c12 = 12,4 и c22 = 39,4
Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:
24 ×1,42 |
< D(X ) < 24 ×1,42 |
39,4 |
12,4 |
1,19 < D(X ) < 3,8
Решение(6):
Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания имеет вид:
xв - t
×ns £ a £ xв + t ×ns .
По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять
22
F(t) = |
g |
= |
0.95 |
= 0.475 Þ t =1.96 |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
Тогда доверительный интервал имеет вид:
10.77 − 1.96 |
× 2.4 |
≤ a ≤10.77 + 1.96 |
× 2.4 |
||
|
|
|
|
||
10 |
|
10 |
|
||
10.77 −1.5 ≤ a ≤10.77 +1.5
9.27 ≤ a ≤12.27
Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:
(n -1)s2 |
< D(X ) < |
(n -1)s2 |
|
c 2 |
c 2 |
||
|
|||
2 |
|
1 |
Для величины c12 вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;
Для величины c22 вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025
По числу степеней свободы, равному п–1 = 9, находим из таблицы распределения c2
Находим c12 = 2,7 и c22 = 19
Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:
9 × 2,42 < D(X ) < 9 × 2,42 19 2,7
2,73 < D(X ) < 19,2
Тема: 6.
Решение(1):
Итак, по двум независимым выборкам пх = 9 и пу = 10 |
извлеченным из нормальных |
||||||
генеральных совокупностей Х и Y найдены |
выборочные |
средние |
|
= 2,41 и |
|
=2,32. |
|
x |
y |
||||||
Генеральные дисперсии известны: |
|
|
|
|
|
|
|
D(X)=(sx )2 = 0,62 = 0,36 |
и |
D(Y)= (sy )2 = 0,42 = 0,16 |
|||||
Необходимо при уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0:M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе Н1: M(X) ¹ M(Y).
Найдем наблюдаемое значение критерия:
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
2,41- 2,32 |
|
= |
0,09 |
= 0,58 |
||
z |
= |
|
|
x |
y |
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
набл |
|
|
D(X ) - |
D(Y) |
|
|
0,36 |
- 0,16 |
0,155 |
|
|||||||
|
|
|
n |
n |
y |
|
|
9 |
10 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: M(X) ¹ M(Y), поэтому критическая область двусторонняя. Найдем правую критическую точку :
Ф(z |
) = 1- a |
= 1- 0,01 |
= 0,495 . По таблице интегральной функции Лапласа находим |
кр |
2 |
2 |
|
zкр = |
2,58. Так как zнабл < zкр , то нулевая гипотеза о равенстве средних подтверждается. |
||
Другими словами, выборочные средние различаются не значимо.
23
Решение(6):
Итак, по двум независимым выборкам пх = 25 и пу = 25 извлеченным из нормальных
генеральных совокупностей Х и Y найдены выборочные средние |
|
x |
=144,87 и |
y |
=140,11. |
||
Генеральные дисперсии известны: |
|
|
|
|
|
|
|
D(X)=(sx )2 = 4.22 = 17.64 |
и |
D(Y)= (sy )2 = 42 |
= 16 |
|
|
||
Необходимо при уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0:M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе Н1: M(X)>M(Y).
Найдем наблюдаемое значение критерия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
= 144 |
.87 -140.11 = |
4.76 |
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
= 18.6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.256 |
|||||||
|
|
|
набл |
|
D(X ) - D(Y) |
17.64 - 16 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
y |
25 |
25 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: M(X)>M(Y), поэтому критическая |
|||||||||||||||||||
область правосторонняя. |
|
Критическое |
значения |
критерия |
z найдем из равенства |
||||||||||||||
Ф(z ) = 1- 2a |
по таблице интегральной функции Лапласа: |
|
|
||||||||||||||||
кр |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(zкр) = |
1- 2a |
= |
1- 2 × 0.05 |
|
|
= 0.45 Þ zкр = 1,64 |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как zнабл > zкр , то нулевую гипотезу необходимо отвергнуть. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.
Тема 7: Решение 6:
В результате проведения n опытов полученны n пар значений (хi; yi). Допуская, что х і у связанны линейной зависимостью y = kx+b, методом наименьших квадратов найти коэффициенты k i b , а также выборочный коэффициент корреляции rв. Проверить значимость корреляционной зависимости. Принять уровень значимости α = 0,1.
хi |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
yi |
12,4 |
14,7 |
18,2 |
21,1 |
23,2 |
|
|
|
n = 5 |
|
|
Решение: Параметры k и b , а так же выборочный коэффициент корреляции найдем по
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n × å xi yi - å xi × å yi |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
å xi2 |
× å yi |
- å xi |
× å xi |
yi |
|
||||||||||||
таким формулам:k = |
i =1 |
|
|
i =1 |
|
i=1 |
|
|
; |
|
|
(1) |
|
b = |
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
. (2) |
||||
|
|
|
|
|
ö2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
æ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö2 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
æ |
n |
|
|
|||||
|
n × å x |
|
- ç |
å x ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n × å xi |
- ç |
å xi ÷ |
|
|
||||||
|
i=1 |
i |
èi=1 |
i ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
è i=1 |
ø |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
- |
|
æ |
n |
öæ n |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
nåxi yi |
|
çåxi ÷çå yi ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
rв = |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
è |
i=1 |
øè i=1 |
ø |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ö2 |
|
æ |
|
ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
2 |
- |
æ n |
|
|
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
nå xi |
çåxi ÷ |
× |
|
nå yi |
- ç |
å yi ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
è i=1 |
ø |
|
|
|
i=1 |
|
è i=1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим необходимые суммы, пользуясь следующей расчетной таблицей:
24
|
|
хi |
|
yi |
|
|
хi × yi |
|
хi2 |
|
|
yi2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0.2 |
|
12.4 |
|
|
|
|
2.48 |
|
0.04 |
|
153.76 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0.4 |
|
14.7 |
|
|
|
|
5.88 |
0.16 |
216.09 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0.6 |
|
18.2 |
|
10.92 |
0.36 |
331.24 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0.8 |
|
21.1 |
|
16.88 |
0.64 |
445.21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
23.2 |
|
|
|
|
23.2 |
|
|
1 |
538.24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3.0 |
|
89.6 |
|
59.4 |
2.2 |
1684.5 |
тогда |
|
||||||||||||||||
|
|
k = |
5 |
59.4 |
- |
3 |
89.6 |
|
= |
|
|
28 |
= |
14 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
2.2 |
- |
3.0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b= |
2.2 |
89.6 - |
|
3.0 |
59.4 |
|
= |
|
|
19 |
= |
9.52 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5 |
2.2 - |
|
3.0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Таким образом, искомое уравнение регрессии |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y= |
14 x |
+ |
9.52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
выборочный коэффициент корреляции равен r |
= |
|
|
|
|
5×59.4 - 3×89.6 |
|
|
= |
|
28.2 |
»0,999, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в |
5×2.2 - |
(3)2 |
× 5×1684.5 - (89.6)2 |
|
1.41×19.86 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выборочный коэффициент корреляции r служит для оценки силы линейной корреляционной связи: чем ближе |r| к единице, тем сильнее связь; чем ближе |r| к нулю, тем связь слабее.
Видим, что в нашем случае линейная корреляционная связь очень сильная.
Так как Выборочный коэффициент корреляции r положителен, то увеличение одной величины приводит к увеличению другой.
Для проверки статистической значимости корреляционной зависимости величин воспользуемся критерием Стьюдента:
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
|
|
n - 2 = 0. |
999 × 5 - 2 |
|
= |
1.73 |
= 38.4 . |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0.045 |
|||||||||
1 |
- r2 |
1- (0.999)2 |
|
|
|
||||||||
Для уровня значимости a = 0,1 и числа степеней свободы равным n–2 = 3 по таблице в
учебнике, |
найдем |
критическое |
значение |
критерия |
Стьюдента |
tα;(n–2) = t0,1; 3 = 2,35. |
|
|
|
|
|
Так как, tрасчет > tα(n–2) , то принимаем гипотезу Н. Вывод: корреляционная связь между признаками статистически значимая.
25