4.1 Оператор Гамильтона (набла оператор).

Гамильтона оператор (набла оператор), -оператор, дифференциальный оператор, который в декартовой системе имеет вид

 = i/x +j/y + k/z,

где i, j, k — координатные орты. Введён Уильямом Р. Гамильтоном (1853).

Если оператор Гамильтона применить к скалярной функции (x, у, z), понимая  как произведение вектора на скаляр, то получится градиент функции (x, у, z):

grad =  = i/x +j/y + k/z,

если применить оператор Гамильтона к векторной функции a(x, у, z), понимая a как скалярное произведение векторов, то получится дивергенция вектора A:

diva = a = a_x/x +a_y/y + a_z/z,

(a_x, a_y и a_z — координаты вектора a). Скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя даёт оператор Лапласа.

 =  = ²/x² +²/y² + ²/z².

4.1 Поток и расходимость (дивергенция) векторного поля.

Дивергенция (расхождение) векторного поля a(M) в точке (x, у, z), скалярная величина

divа =a = a_x/х + a_y/у + a_z/z,

где a_x, a_y, a_z — компоненты вектора а. Дивергенция есть предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность, окружающую данную точку, к объёму, ограничиваемому ею, когда эта поверхность стягивается к точке. Так, если рассматривать векторное поле а(М) как поле скоростей в установившемся течении несжимаемой жидкости, то diva в точке означает интенсивность источника (diva > 0) или стока (diva < 0), находящегося в этой точке, или отсутствие источника и стока (diva = 0). Свойства дивергенции:

div (а + b) = diva + divb;

div (a) =  diva + agrad;

div rota = 0;

div grad = ,

(где  — оператор Лапласа).

Поток векторного поля, одно из понятий теории поля. Поток векторного поля через поверхность  выражается с точностью до знака поверхностным интегралом

_ands =_(a_xdydz + a_ydzdx + a_zdxdy)

где а = {a_x, a_y, a_z} и n — единичный вектор нормали к поверхности  (предполагается, что изменение вектора n по поверхности  непрерывно). Для поля скоростей частиц жидкости поток векторного поля равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность .

4.2 Циркуляция и вихрь (ротор) векторного поля.

Циркуляция векторного поля а(r) вдоль замкнутой кривой L, интеграл вида:

;

в координатной форме циркуляция равна

_L(a_xdx + a_ydy + a_zdz).

Работа, совершаемая силами силового поля a(r) при перемещении пробного тела (единичной массы, заряда и т. д.) вдоль кривой L, равна циркуляции поля вдоль L.

Вихрь (ротор) векторного поля a, векторная характеристика «вращательной составляющей» поля a. Обозначается символом rota = a.

Вихрь может быть истолкован следующим образом. Пусть А есть поле скоростей потока жидкости. Поместим в данной точке потока малое колёсико с лопастями и ориентируем его ось по направлению rota в этой точке. Тогда угловая скорость вращения колёсика под воздействием потока будет максимальной и её значение будет равно | rota|/2

Если поле a имеет координаты a_x(х, у, z), a_y(x, у, z), a_z(х, у, z), то ротор (вихрь) имеет координаты

(a_y/x a_x/y), (a_z/y a_y/z), (a_x/z a_z/x).

4.3 Теорема Гаусса.

Теорема Гаусса, теорема электростатики, предложенная Карлом Гауссом () и устанавливающая связь потока напряжённости Е электрического поля через замкнутую поверхность с величиной заряда q, находящегося внутри этой поверхности. Потоком вектора Е через элемент поверхности S_i называется произведение величины этого элемента и проекции E_ni вектора Е на нормаль к S_i. Поток  через замкнутую поверхность S равен сумме потоков через все элементы поверхности.

 = _i E_niS_i. = q/₀.

Теорема Гаусса вытекает из закона Кулона — закона взаимодействия неподвижных точечных зарядов в вакууме.

В диэлектрике теорема Гаусса справедлива для потока вектора электрической индукции D:

  = _i D_niS_i. = q

где q — суммарный свободный заряд внутри поверхности S. Теорема Гаусса представляет собой интегральную форму одного из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и выражает тот факт, что электрические заряды являются источниками электрического поля.

Формула Остроградского, формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму V, ограниченному поверхностью S, в интеграл, взятый по этой поверхности:

_V(X/x +Y/y +Z/z)dxdydz = _(Xdydz +Ydzdx + Zdxdy),

здесь X, Y, Z — функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области V.

Формула Остроградского найдена Михаилом Васильевичем Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). В векторной форме формула Остроградского имеет вид:

_VdivadV = _SandS,

где a — вектор поля, заданного в объёме V; dV — элемент объёма; n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S; dS — элемент этой поверхности.

В гидродинамическом истолковании формула Остроградского устанавливает равносильность двух способов учёта того количества жидкости, которое вытекает из оболочки S в единицу времени:

1) исходя из «производительности» точечных источников, заполняющих объём V (левая часть равенства);

2) исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку S (правая часть равенства).

Формула была дана Остроградским (1834, опубликована в 1838) также и в более общем виде для интеграла, распространённого на n-мерную область.

4.4 Теорема Стокса.

Формула Стокса, формула преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру L в поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L. Формула Стокса имеет вид:

_L(a_xdx + a_ydy + a_zdz) = _S[(a_y/x a_x/y)dxdy + (a_z/y a_y/z)dydz + (a_x/z a_z/x)dzdx]

причём направление обхода контура L должно быть согласовано с ориентацией поверхности . В векторной форме формула Стокса приобретает вид:

_Ladl = (rota)ds

где а – векторное поле, dl — элемент контура L, ds — элемент поверхности S.

Физический смысл формулы Стокса состоит в том, что циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря поля через поверхность .

Формула Стокса предложена Дж. Г. Стоксом в 1854.

4.5 Градиент скалярного поля.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis —шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой скалярной величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Если скалярная величина выражается функцией u(х, у, z), то составляющие градиента равны

u/x, u/y, u/z.

 градиент обозначается знаком gradu или u. Градиент в некоторой точке направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке, длина градиента равна

((u/x)² +(u/y)² +(u/z)²)^1/2

4.6 Интегральная форма полевых уравнений.

,

,

,

4.7 Дифференциальная форма полевых уравнений.

D = .

B = 0.

E = B/t.

H = j + Dt.

5 Материальные уравнения классической электродинамики.

5.1 Определение вектора смещения (электрической индукции).

D = ₀E +P. [Кл/м²]

₀ = 10⁷/(4c²) = 8,854187817...×10^-12 [Ф/м]

D = ₀E.

D_i = _o_ijE_j.

D = ₀E.

 = 1 +  = D/_oE. (безразмерна)

5.2 Вектор поляризации. Диэлектрическая восприимчивость. Электрическая проницаемость.

P = (p_e)/V. [Кл/м²]

 = p_e/₀E. [м³]. p_e = ₀E.

P = ₀E.

P_i = ₀_ijE_j.

 = P/₀E (безразмерна)

_нп = n.

_п = np_eL()/_oE ≈ ≈ np_e/3k_BT_o (слабые поля), L() – функция Ланжевена,  = p_eE/k_BT.

5.3 Определение вектора напряжённости магнитного поля.

H = B/_o M. [А/м]

_o = 4×10^-7 = 12,5663706144…×10^-7. [Гн/м]

5.4 Вектор намагниченности. Магнитная восприимчивость. Магнитная проницаемость.

M = (p_m)/V. [А/м]

M_i = _ijH_j.

_д = (e²/(6m₀))n_i=1^z <R²_i>.

_п = p_mnL()/B ≈ ≈ p_m²n/3k_BT (слабые поля), L() – функция Ланжевена, p_mB/k_BT.

 = 1 + . (безразмерна)

 < 1.

 > 1.

Намагниченность, характеристика магнитного состояния макроскопического физического тела. В случае однородно намагниченного тела намагниченность определяется как магнитный момент M единицы объёма тела: M = <p_m>/V, где <p_m> — среднее значение вектора магнитного момента тела, V — его объём. В случае неоднородно намагниченного тела намагниченность определяется для каждой точки тела (точнее, для каждого физически малого объёма dV): M = <dp_m>/dV, где <dp_m> — средний магнитный момент объёма dV. Единица намагниченности в Международной системе единиц — ампер на метр (1 А/м - намагниченность, при которой 1 м³ вещества обладает магнитным моментом 1 Ам²).

Намагниченность тел зависит от внешнего магнитного поля и температуры. У ферромагнетиков зависимость M от напряжённости внешнего поля Н выражается кривой намагничивания. В изотропных веществах направление M совпадает с направлением Н, в анизотропных направления M и Н в общем случае различны.