Властивості довільних симетричних многочленів

1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів над деяким полем є знову симетричний многочлен над цим полем.

Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів над полем утворює область цілісності з одиницею відносно дій додавання і множення.

2. Якщо симетричний многочлен містить деякий член , ( )

то він містить і член, утворений з ( ) внаслідок будь-якої перестановки показників

Наслідок. Якщо

( )

є вищий член симетричного многочлена, то

Основна теорема теорії симетричних многочленів

Теорема 8. (Основна теорема теорії симетричних многочленів) Всякий симетричний многочлен від невідомих над полем можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому самому полю .

Теорема 9. (Про єдиність многочлена ) Зображення симетричного многочлена у вигляді многочлена від основних симетричних функцій єдине.

Теорема 10. Якщо – многочлен від однієї змінної над полем з коренями (які можуть не належати полю ), то будь-який симетричний многочлен над полем при набуває значення, яке є елементом поля .

Додаткові зауваження про симетричні многочлени

Основна теорема симетричних многочленів може бути поширена і на випадок раціональних дробів.

Означення. Раціональний дріб від невідомих називається симетричним, якщо він залишається без зміни при будь-якій перестановці невідомих.

Це означення не залежить від того, будемо ми брати чи рівний йому дріб Для симетричних раціональних дробів справедлива така теорема.

Теорема. Будь-який симетричний раціональний дріб від невідомих з коефіцієнтами із поля можна подати у вигляді раціонального дробу від елементарних симетричних многочленів з коефіцієнтами, які не належать полю .