Модуль 4

Математичний словник

Многочлени над полем раціональних чисел

Раціональні корені многочленів з раціональними коефіцієнтами

Будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами.

Означення 1. Многочлен з цілими коефіцієнтами називають примітивним, якщо його коефіцієнти не мають спільних дільників, відмінних від .

Лема 1. Добуток двох примітивних многочленів є примітивний многочлен.

Теорема 1. Для того, щоб многочлен з цілими коефіцієнтами був звідний у полі раціональних чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідним у кільці цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілим коефіцієнтами такі, що .

Теорема 2 (Ейзенштейна). Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами

коефіцієнти діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі раціональних чисел.

Теорема 3. Якщо многочлен з раціональними коефіцієнтами, степінь якого більша за одиницю, має хоча б один раціональний корінь , то звідний у полі раціональних чисел.

Теорема 4. Якщо многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами не має раціональних коренів, то він незвідний у полі раціональних чисел.

Раціональні корені многочленів з раціональними

коефіцієнтами

Теорема 5. Щоб число де і - взаємно прості числа, було коренем рівняння

(70)

з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб було дільником вільного члена а дільником старшого коефіцієнта цього рівняння.

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені цього рівняння є цілі числа і дільники вільного члена.

Теорема 6. Для того, щоб де , було раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами

,

необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт даного многочлена з цілими коефіцієнтами дорівнює одиниці, то його раціональними коренями можуть бути лише такі цілі числа для яких при всякому цілому , при якому

Найбільш поширені на практиці умови, що відповідають бо вирази легко обчислити. Їх можна сформулювати так: Щоб число було раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, треба, щоб і були цілими числами.

Многочлени від кількох змінних

Означення 2. Многочленом від змінних над числовим полем називається вираз виду

де коефіцієнти належать полю , змінні незалежні між собою і можуть набувати відповідно всіх значень з деяких числових множин , а показники степеня – цілі невід'ємні числа.

Теорема 7. Кільце многочленів над областю цілісності є область цілісності.

Теорема 8. Кожний елемент можна подати у вигляді скінченної суми

( )

Навпаки, будь-який вираз виду ( ) є елементами кільця .

Теорема 9. Сукупність усіх многочленів над довільним числовим полем утворює комутативне кільце з одиницею відносно операцій додавання і множення.

Теорема 10. Якщо многочлен над полем тотожно дорівнює нулю, то всі його коефіцієнти дорівнюють нулю.

При записі многочлена у формі ( ) завжди вважатимемо, що серед членів многочлена немає подібних.Tаку форму многочлена називають канонічною або нормальною.

Теорема 11. Будь-який многочлен

можна подати у канонічній формі лише одним способом (з точністю до порядку членів).

Степенем члена многочлена називається сума . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена. Зрозуміло, що різних старших членів многочлена може бути не один.

Теорема 12. Якщо і - відмінні від нуля многочлени з , де область цілісності, то

Наслідок. У кільці дільниками одиниці можуть бути лише відмінні від нуля константи.

Лема. Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

Означення 3. Вважатимемо, що многочлен ділиться на многочлен відмінний від нуля, і записуватимемо якщо існує такий многочлен що При цьому називається дільником многочлена

Властивості подільності многочленів

Означення 4. Многочлен називається незвідним у полі , якщо

Многочлен називається звідним у полі , якщо

Властивості незвідних многочленів

1. Якщо незвідний у , то і будь-який асоційований з ним многочлен незвідний у .

2. Якщо незвідні у многочлени і то - асоційовані.

3. Будь-який многочлен першого степеня незвідний у .

Можливість і єдиність розкладу многочлена у добуток незвідних множників - залишається в силі і в кільці при

Теорема 13. Будь-який многочлен над полем не нульового степеня можна подати як добуток многочленів, незвідних у полі .

Раціональні дроби від кількох змінних

Кільце многочленів від змінних, так само як і кільце многочленів від однієї змінної, можна «вкласти» у поле відношень Точніше, можна побудувати таке поле яке містить як підкільце і кожний елемент якого можна подати як частку двох многочленів

Таке поле єдине з точністю до ізоморфізму.

Елементи теорії виключення. Результант двох многочленів

Многочлен від кількох змінних можна також розглядати як алгебраїчне рівняння ( ).

( )

вибрати в довільні значення при яких такі значення обов’язково знайдуться, бо підставити їх у коефіцієнти многочлена ( ) і дістати многочлен

від однієї змінної степеня над полем . За теоремою Кронекера, цей многочлен має корінь у полі , або у деякому його розширенні. Але тоді - розв’язок рівняння ( ).

Більш поширеною і практично застосовною є задача розв’язування систем алгебраїчних рівнянь виду

( )

тобто знаходження спільних розв’язків усіх многочленів

Нехай задано систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими. Розмістимо члени цих рівнянь за степенями одного з невідомих (їх ліві частини розглядаються над полем ):

( )

і припустимо, що пара елементів є розв’язком системи (30), тобто

Зрозуміло, що з системи (30) можна утворити цілий ряд вивідних рівнянь, для яких також буде розв’язком.

Підставимо в рівняння системи ( ), що має розв’язок , значення дістанемо два рівняння з одним невідомим:

( )

причому є спільним коренем обох цих рівнянь. Оскільки два довільно взяті рівняння з одним невідомим, взагалі кажучи, спільних коренів не мають, то рівняння системи ( ), які мають спільний корінь, не можуть бути незалежними. Між їх коефіцієнтами повинен бути деякий зв’язок. Якщо ми знайдемо цей зв’язок між коефіцієнтами , тобто співвідношення

то тим самим дістанемо деяке рівняння

яке повинно задовольнятись при щоб могло бути розв’язком системи.

Отже, треба розв’язати таку задачу. Нехай дано систему двох рівнянь з одним невідомим:

( )

Знайти, при яких умовах ці рівняння можуть мати спільний корінь.

Зауважимо, що між системами ( ) і ( ) є певна відмінність. При розгляді системи ( ) природно вважати, що і , тоді як у системі ( ), утвореній з ( ) при деякі з коефіцієнтів і, зокрема старші коефіцієнти і , можуть дорівнювати нулю, хоч відповідні многочлени і не були нулями.

Очевидно, що спільні корені рівнянь системи треба шукати лише серед коренів многочлена . Позначимо ці корені через . З другого боку, лише тоді буде спільним коренем, якщо

Означення 5. Результантом многочленів

( )

називається вираз

, (*)

де - корені многочлена .

Зауваження. 1. У цьому означенні многочлени і нерівноправні; для дістаємо:

, (**)

де (**) - корені многочлена .

На перший погляд здається, що це є недоліком введеного означення (бо в поставленій задачі і рівноправні), проте можна показати, що і можуть відрізнятися лише знаком.

2. Щоб означити для двох многочленів один з результантів або , потрібно, щоб хоч один з старших членів цих многочленів був відмінний від нуля.

є симетричним многочленом від , коефіцієнти якого раціонально виражаються через Із основної теореми теорії симетричних многочленів випливає, що можна подати як многочлен від основних симетричних функцій

Оскільки - корені многочлена , то , за формулами Вієта, раціонально виражаються через його коефіцієнти Отже, остаточно можна раціонально виразити через коефіцієнти і обох заданих многочленів. Звідси випливає, що результант довільних двох многочленів над полем є елементи цього самого поля.

Властивості результанта

Теорема 14. Для того, щоб многочлени і мали спільний корінь, необхідно і достатньо, щоб їх результант дорівнював нулю.

Означення 6. Дискримінантом многочлена називається вираз

, (***)

де - результант многочлена і його похідної .

Теорема 15. Многочлен має кратний корінь тоді і тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю.

Результант у формі Сільвестра

Нехай дано два многочлена

Побудуємо детермінант із рядків із коефіцієнтів і .

( )

Форма Сільвестра важлива тим, що вона дає можливість узагальнити поняття результанта, введене в означенні 5. Ми бачили, що при детермінант Сільвестра збігається з , означеним формулою (*). Аналогічно при дорівнює відповідному детермінанту Сільвестра. Але якщо то формули (*) – (**) результанта або втрачає смисл, тоді як детермінант Сільвестра зберігає смисл, хоч і набуває значення нуль.

У зв’язку з цим надалі під результантом двох многочленів ми розумітимемо детермінант Сільвестра для цих многочленів.

При новому означенні результанта властивість 1 втрачає смисл (при ), але залишається в силі властивість 2

,

що можна перевірити, переставляючи рядки детермінанта ( ).

Теорема 14. Якщо результант дорівнює нулю, то або а) многочлени і мають спільний корінь, або б) обидва їх старші коефіцієнти дорівнюють нулю.

Теорема 15. Якщо многочлени і мають спільний корінь, то дорівнює нулю.

Розв’язання системи алгебраїчних рівнянь

Нехай дано систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими з коефіцієнтами із . Розмістивши члени цих рівнянь за степенями одного невідомого, матимемо

( )

Р озглядаючи як параметр, побудуємо для многочленів результант :

П означимо цей результант через

Як видно з , дістаємо з коефіцієнтів і за допомогою дій додавання і множення. Тому, результант многочленів і є многочленом від над тим самим полем . Позначимо степінь многочленна через . Тоді, результант многочленів і є многочленом від над тим самим полем . Позначимо степінь многочлена через . Тоді, степінь не перевищує добутку степенів многочленів і (відносно обох змінних). Многочлен має в полі розкладу коренів тобто Але те, що результант дорівнює нулю, на основі теореми 14 означає, що многочлени

або мають спільний корінь, або їх старші коефіцієнти і дорівнюють нулю.

Розглянемо обидва випадки.

а) Хоча б один з коефіцієнтів і не дорівнює нулю.

У цьому випадку многочлени і мають спільний корінь. Позначимо його через . Пара очевидно, є одним з розв’язків системи (38), або Зауважимо, що для даного значення ми можемо мати не один, а кілька спільних коренів многочленів і , наприклад і . Тоді, очевидно, обидві пари і є розв’язками системи (38).

б) Обидва коефіцієнти і дорівнюють нулю.

У цьому випадку, незважаючи на те, що результант дорівнює нулю, і можуть не мати спільного кореня. Якщо це так, то корінь результанта слід відкинути. Проте може статися, що й у цьому випадку многочлени і мають спільний корінь . Тоді знову є розв’язком системи (38).

Щоб знайти всі розв’язки системи (38), треба аналогічно розглянути всі корені результанта .

Зауважимо, що крім знайдених таким способом розв’язків ніяких інших розв’язків система мати не може.

Як висновок всього сказаного можна запропонувати таку схему дій при розв’язуванні системи рівнянь з двома невідомими.

1. Побудувати результант ( ) і знайти всі його корені.

2. Знайдений корінь підставити в многочлени системи ( ). Дістанемо многочлени і .

3. Знайти спільний найбільший дільник многочленів і .

4. Розв’язати рівняння Корені цього рівняння є, очевидно, спільними коренями многочленів і .

5. Скласти систему пар Ці пари є розв’язками системи ( ), які відповідають кореню .

Дії 2 – 5 слід виконати окремо для кожного з коренів . При цьому слід мати на увазі, що для деяких коренів результанта може не існувати спільних коренів многочленів Це може бути тоді, коли Ознакою відсутності спільних коренів, очевидно, є те, що многочлени , взаємно прості, тобто

У тих випадках, коли корені одного з многочленів , легко знайти, шукати найбільший спільний дільник недоцільно: досить перевірити, які з коренів є коренями і другого многочлена.

Ми розглянули як розв’язується система двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими. Цю теорію можна застосувати і до розв’язування системи алгебраїчних рівнянь з невідомими.

Зауважимо, що взагалі виключення невідомих методами елементарної алгебри в більшості випадків і є знаходженням результанта. Потім за коренем результанта знаходять спільний корінь многочленів , . Спільність кореня перевіряють підстановкою, що обов’язково слід робити при розв’язуванні таких систем у школі.

Симетричні многочлени

Означення. Многочлен називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен, який дорівнює даному.