Відокремлення коренів методом Штурма

Метод Штурма дає можливість дати відповідь на питання про те, скільки дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами лежить у довільному, наперед заданому інтервалі дійсної осі.

Повну відповідь на це питання дає метод Штурма.

Нехай - деякий многочлен, Припустимо, що не має кратних коренів.

Знайдемо похідну і побудуємо для та алгоритм, подібний до алгоритму Евкліда; відмінність полягатиме в тому, що всі остачі ми братимемо з протилежними знаками, тобто Позначимо Таким чином, одержимо:

(1)

де так як і взаємно прості (за припущенням, не має кратних коренів) і тому

Послідовність многочленів (2) називається рядом функцій Штурма, або просто рядом Штурма.

У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У зв’язку з цим функції ряду (2) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножити на сталі множники; ці множники обов’язково повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.

Основні властивості ряду функцій Штурма

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (2) не мають спільних коренів.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої не будь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Лема 4. Якщо зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

Т еорема (Штурма). Якщо i – довільні дійсні числа, які не є коренями многочленна , то число р дійсних коренів многочленна в інтервалі дорівнює де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках i .

Зауваження 1. Теорема Штурма справедлива і для випадку, коли кінці інтервалу можуть бути коренями многочленна. Тільки тоді є число коренів не на інтервалі , а на пів інтервалі (або на відрізку ).

Зауваження 2. Якщо якась з проміжних функцій ряду Штурма не має дійсних коренів, то можна наступних функцій Штурма не знаходити і користуватися в теоремі Штурма «укороченим» рядом

Дійсно, число змін знаків у «залишковому» ряді Штурма (3) є сталими при будь-якому . Адже може пройти лише через корінь проміжної функції ряду (66), що, за лемою 3, не впливає на число змін знаків у цьому ряді. Отже, «залишковий ряд» (3) не впливає на різницю .

Зауваження 3. Якщо має кратні корені, то

Можна розглянути ряд многочленів

Який вже має всі властивості, зазначені в лемах 1-4. Через те, що число змін знаків у ряді (67) збігається з числом змін знаків у звичайному ряді Штурма то теорема Штурма залишається в силі. Слід лише урахувати, що вона дає в цьому випадку число дійсних коренів не самого многочлена , а многочлена (в якому вже немає кратних коренів), тобто число різних коренів многочлена в без урахування їх кратності.

Методичні рекомендації до розв‘язування задач

Приклад 1. Знайти межі додатних та від’ємних коренів многочлена

Розв’язання. Маємо і Тому Це означає, що всі корені заданого рівняння задовольняють нерівність Введемо заміну

Маємо

Введемо заміну

Маємо і

Введемо заміну

Маємо ,

Відповідь:

Приклад 2. Розглянемо рівняння:

Тут звідки Таким чином, дійсні корені (якщо вони є) потрібно шукати в межах .

На жаль, цей простий спосіб знаходження меж дійсних коренів має один недолік: звичайно отримується дуже велике .

Приклад 3. Відокремити дійсні корені многочлена

Розв’язання.

Відповідь:

Приклад 4. Знайти за способом Ньютона межі дійсних коренів рівняння:

(*)

Розв’язання. Складаємо похідні:

Відразу видно, що при всі похідні від першого до п’ятого порядку додатні. Підставляємо значення в многочлен і знаходимо, що Тоді 1 можна прийняти за верхню межу дійсних коренів даного рівняння.

Для знаходження нижньої межі дійсних коренів замінюємо в рівнянні (2) через . Після деяких перетворень отримується:

Складаємо похідні:

При похідні додатні. Однак похідна від’ємна при . Тому беремо для більше значення, наприклад 2, і знаходимо, що Але при також додатне:

Тоді 2 – верхня межа додатних коренів , звідки буде нижньою межею додатних коренів даного рівняння (*).

Для знаходження верхньої межі від’ємних коренів підставляємо в рівнянні (2) . Отримаємо: і

При многочлен і всі його похідні додатні. Отже, 2 - верхня межа додатних коренів , звідки буде верхнею межею від’ємних коренів рівняння (2).

Для знаходження нижньої межі від’ємних коренів підставляємо в рівнянні (2) . Отримаємо: 4 – верхня межа додатних коренів Тому, -4 буде нижньою межею від’ємних коренів рівняння (2).

І так, додатні корені даного рівняння (2) потрібно шукати в інтервалі а від’ємні в інтервалі .

Ми бачимо, що спосіб Ньютона більш вигідний, аніж перший спосіб.

Приклад 5. Знайти ряд Штурма для многочлена

Розв’язання. Позначимо та Перед діленням на для зручності до множимо на 9:

_

Остача Замінюючи знак остачі і скорочуючи на 7:

Далі ділимо на

Остача тобто можна взяти отже, остаточно маємо:

Введемо поняття числа змін знаків у ряді Штурма. Візьмемо в ряді функцій (65) де - якесь дійсне число. Тоді скінчена послідовність функцій (65) перетворюється в послідовність чисел

Число змін знаків у цій послідовності позначатимемо через і називатимемо його числом змін знаків у ряді Штурма в точці .

Приклад 6. Для розглянутого вище многочлена

а) при маємо: У послідовності чисел 1, -1, -1, 1, очевидно, дві зміни знаків, тобто

б) при маємо: тобто для цього значення дістаємо одну зміну знаків:

Зауважимо, що при зростанні від до число змін знаків у ряді Штурма змінилося: Як виявиться далі, це пов’язано з тим, що в інтервалі міститься один корінь многочлена

Задачі рекомендовані для розв‘язування в аудиторії

І. Довести, що корені полінома з дійсними або комплексними коефіцієнтами не перевищують за модулем:

будь-яке додатне число;

ІІ. Обмежити зверху і знизу дійсні корені поліномів:

ІІІ. Скласти поліноми Штурма і відокремити корені поліномів:

IV. Скласти ряд Штурма і відокремити корені поліномів:

Задачі рекомендовані для розв‘язування дома

І. Скласти поліноми Штурма і відокремити корені поліномів:

II. Скласти поліноми Штурма і відокремити корені поліномів:

III. Скласти ряд Штурма і відокремити корені поліномів:

IV. Скласти ряд Штурма і відокремити корені поліномів:

16