Основні властивості ряду функцій Штурма

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (67) не мають спільних коренів.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай є спільним коренем і тобто Тоді з (66) маємо, що й . Але означає, що - кратний корінь а за припущенням, не має кратних коренів. Отже, ми прийшли до суперечності, яка і доводить лему 1.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Доведення. Нехай Тоді, за лемою 1, Далі, з (66) маємо:

і лему 2 доведено.

Л ема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Д оведення. Нехай - корінь , тобто . Зауважимо, що і (за умовою і ). За лемою 1, і , і мають протилежні знаки, за лемою 2. Внаслідок неперервності цих функцій можна знайти такий окіл точки , в якому функції і зберігають свої знаки. Адже, за відомою теоремою аналізу, якщо неперервна в точці і , то існує такий окіл точки , в якому функція зберігає знак : тут ми вибираємо спільний окіл для двох функцій і .

Дослідимо число змін знаків у ряді трьох функцій , , , якщо зростаючи, змінюється в межах цього околу. Можливі при цьому варіанти розподілу знаків можна зобразити схематично такими таблицями:

	Знак	Знак	Знак

	Знак	Знак	Знак

У цих таблицях не заповнені місця для знаків в околі точки , бо вони не впливають на число змін знаків: які б знаки не стояли на незаповнених місцях, у кожному матимемо одну зміну знака. Отже, і при і при число змін знаків у ряді функцій , , однакове.

Щодо інших функцій ряду Штурма, то немає потреби розглядати докладно, як змінюються їх знаки при зростанні в межах інтервалу . Можливі випадки: або всі інші функції не перетворюються в нуль при і тому зберігають свої знаки в достатньо малому околі точки , або якась з проміжних функцій (але не сусідня з ) перетворюється в нуль при , але тоді для неї і для двох сусідніх функцій число змін знаків залишається одним і тим самим, як і для трьох розглянутих функцій.

Лема 4. Якщо зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

[Доведення самостійно. Див. Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч.2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.332-333.]

Теорема 34 (Штурма). Я кщо i довільні дійсні числа, які не є коренями многочленна , то число дійсних коренів многочленна в інтервалі дорівнює , де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках i .

Доведення. Якщо , зростаючи від до , не пройде через жодний корінь , то за лемою 3 . Якщо ж , зростаючи, пройде через коренів многочлена , то при проходженні через кожний корінь число змін знаків зменшується на одиницю (за лемою 4), так що буде на одиниць менше, ніж , тобто . Теорему доведено.

Зауваження 1. Теорема Штурма справедлива і для випадку, коли кінці інтервалу можуть бути коренями многочлена. Тільки тоді є число коренів не на інтервалі , а на півінтервалі (або на відрізку .

Зауваження 2. Якщо якась з проміжних функцій ряду Штурма не має дійсних коренів, то можна наступних функцій Штурма не знаходити і користуватися в теоремі Штурма «укороченим» рядом

Дійсно, число змін знаків у «залишковому» ряді Штурма

, (68)

є сталими при будь-якому . Адже може пройти лише через корінь проміжної функції ряду (68), що, за лемою 3, не впливає на число змін знаків у цьому ряді. Отже, «залишковий ряд» (68) не впливає на різницю .

Зауваження 3. Якщо має кратні корені, то остання функція ряду Штурма вже не є сталою. Але тоді і можна розглянути ряд многочленів

(69)

який вже має всі властивості, зазначені в лемах 1-4.Через те що число змін знаків у ряді (69) збігається з числом змін знаків у звичайному ряді Штурма то теорема Штурма залишається в силі. Слід лише урахувати, що вона дає в цьому випадку число дійсних коренів не самого многочлена , а многочлена (в якому вже немає кратних коренів), тобто число різних коренів многочлена в без урахування їх кратності.

Приклад 1. Знайти межі додатних та від’ємних коренів многочлена

Розв’язання. Маємо і . Тому . Це означає, що всі корені заданого рівняння задовольняють нерівність . За теоремою Ньютона уточнимо верхню межу додатних коренів:

	1	0	5	0	7	2
4	1	4	21	84	329	1318
3	1	3	14	42	119	359
2	1	2	9	18	29	60
1	1	1	6	6	1	1	0
1	1	2	8	14	13	0

.

Введемо заміну . Маємо , рівняння, яке відповідає , має вигляд: . (*)

Для виразу (*) , , .

За теоремою Ньютона уточнимо верхню межу дійсних додатних коренів виразу (*).

	1	0	5	0	7	2
3	1	3	14	42	119	355	0
2	1	2	9	18	29	56	0
1	1	1	6	6	1	3	0

.

Введемо заміну Рівняння яке відповідає многочлену має вигляд (**). Для рівняння (**) ,

Введемо заміну Відповідне рівняння: ,

Отже, дійсні корені заданого многочлена знаходяться в інтервалах , .

Приклад Відокремити дійсні корені многочлена