4. Методи розв’язання слар

   1. Правило Крамера розв’язуванння системи n рівнянь з n невідомими.

Застосуємо визначники та їх властивості до розв’язування системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

Нехай дано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

де - коефіцієнти системи, - вільні члени. Якщо , система називається однорідною, якщо хоч один вільний член відмінний від нуля, – неоднорідною. Розв’язком системи називається будь-яка трійка чисел , що перетворює рівняння системи в тотожності.

Розглянемо визначник 3-го порядку, складений з коефіцієнтів при невідомих, назвемо його основним визначником системи:

Введемо також наступні позначення:

,

Припустивши, що , одержимо єдиний розв’язок системи:

Підставляючи знайдені значення в рівняння системи, переконуємося, що кожне з рівнянь перетворюється в тотожність. Пропонується зробити це самостійно.

Теорема (правило) Крамера. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який розв’язок знаходимо за формулами:

,

де - головний визначник системи, а – визначники, одержані з нього заміною відповідно І, ІІ, ІІІ, стовпця вільними членами.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Нехай головний визначник системи дорівнює нулю. Якщо при цьому хоч один з визначників не дорівнює нулеві, то система несумісна.

Дійсно, якщо , то не виконується при кожному значенні . Якщо , то система або не має розв’язку, або має незчислену множину розв’язків.

Ми записали формули Крамера для розв’язування системи трьох рівнянь з трьома невідомими, ці формули справедливі і для n рівнянь з n невідомими, якщо :

.

2. Матричний метод розв‘язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

Виведемо наступні позначення

;

Отже, – матриця коефіцієнтів при невідомих, – матриця-стовпчик із невідомих, – матриця-стовпчик вільних членів.

Тоді систему лінійних рівнянь з невідомими можна записати у матричній формі або:

Дійсно, виконавши множення в лівій частині, одержимо

Пригадавши означення рівності двох матриць одержимо дану систему рівнянь з невідомими.

Розв’язування матричних рівнянь.

Рівність являє собою матричне рівняння, в якому невідома матриця – стовпчик . Це рівняння можна розв’язати, якщо матриця – неособлива (тобто визначник системи не дорівнює нулю). В цьому випадку для матриці існує обернена матриця . Помноживши обидві частини матричного рівняння на зліва одержимо:

Останнюрівність називають розв’язком системи в матричній формі. Невідома матриця виражена через відомі матриці і .

Приклад. Розв’язати систему:

Розв’язання.

;

тоді маємо обернену матрицю та шуканий розв’язок:

;

Відповідь:

3. Метод Гауса.

Метод Гаусса розв’язування системи т лінійних рівнянь з п невідомими являє собою метод послідовного виключення змінних з рівнянь системи. Розв’язання СЛАР методом Гаусса можна умовно розділити на 2 етапи: прямий та зворотний хід.

Прямий хід методу Гауса саме і полягає в послідовному виключенні змінних (невідомих) з рівнянь системи.

Не порушуючи загальності, будемо вважати, що , в іншому випадку можна переставити невідомі. Отже, маємо систему:

Перший крок: за допомогою першого (робочого) рівняння з усіх наступних рівнянь виключимо х₁, для чого перше помножимо на і віднімемо від другого, потім – на і віднімемо від третього і т.д. Одержимо систему, еквівалентну даній:

Припустивши, що , аналогічно виключимо з третього і наступних рівнянь (перше рівняння на даному етапі вже виконало свою місію і в подальших перетвореннях участі не бере, а переписується без змін; робочим тепер є друге рівняння).

Продовжуючи процес послідовного виключення невідомих, ми побачимо, що система набуває простішого виду.

Пропускаючи деякі моменти, зауважимо, що зворотний хід методу починається з відшукання (або вираження) певної змінної із останнього рівняння системи , після чого знаходять значення інших змінних (або виразів для них), послідовно повертаючись від останнього до першого рівняння.