23. Высказывания, логические операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Нормальные и совершенные нормальные формы формул алгебры высказываний.

Высказывание - утверждение (повествовательное предложение), в отношении кот можно сказать И оно или Л (но не то и другое вместе). Из высказываний путем соединения их различными способами можно составить более сложное высказывание. Раздел математической логики «Логика высказываний» посвящен изучению связей между высказываниями. Обозначим значения "истина" и "ложь", соответственно, через "И" и "Л" (или 1 и 0). Тогда можно считать, что множество всех высказываний отображается на множество из двух элементов {И, Л}.

Операции алгебры логики

1. Отрицание. Если А — высказывание, то отрицание высказывания А определяется как такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Обозн. А читается “не А”.

2. Конъюнкция. К. двух выс-ий наз такое выск-ие, кот И т. и т. т., когда оба составляющие ее выск-ия И. Обозн А & B (или A  B, или АВ) читается “А и В”.

3. Дизъюнкция. Д. двух выск-ий наз такое выск-ие, кот Л т. и т. т., когда оба составляющие ее выск-ия Л. Обозн А  В читается “А или В”.

4. Импликация двух выс-ий А и В обозн. А  В читается “если А, то В” (А только тогда, когда В, А есть достаточное условие для В, В есть необходимое условие для А). Импликация А  В высказываний А и В определяется как такое выск-ие, кот Л т. и т. т., когда выск-ние А И, а выск-ие В Л. Выск-ие А наз посылкой импликации, а В  заключением.

5. Эквивалентность. Обозн. А  В читается “А т. и т. т., когда В”. По определению выск-ие А  В истинно т. и т. т., когда высказывания А и В имеют одинаковые истинностные значения:

Опр: Символы , , , ,  будем называть пропозициональными связками (логическими связками). Прописные буквы латинского алфавита А, В, ... X, Y, Z, а также эти буквы с индексами А₁, А₂, ..., В₁, В₂, ..., Z₁, Z₂, ... будем использовать для обозначения элем-ных выск-ний. Их будем называть пропозициональными буквами.

Опр: Формулами будем называть выражения, построенные из пропозициональных букв с помощью пропозициональных связок по следующим правилам:

все пропозициональные буквы суть формулы;

если А и В — формулы, то (А), (АВ), (АВ), (АВ), (АВ) — тоже формулы;

только те выражения являются формулами, для которых это следует из пунктов 1. и 2., то есть формулы нельзя получить применяя какие-либо другие правила.

Порядок опускания скобок:

1. внешние скобки, в которых заключена вся формула, можно опустить;

2. вместо (А) можно (А̃ ) и скобки опустить: А̃;

3. часто вводят приоритет операции: порядок по убыванию: ,&,,,.

Таблица истинности: любому набору истинностных значений элементарных высказываний, входящих в некоторую формулу, соответствует истинностное значение этой формулы, полученное согласно истинностным таблицам для пропозиционных связок. Таким образом, для любой пропозиционной формулы можно построить истинностную таблицу.

Если в формуле имеются различные пропозиционные буквы, то тогда возможны 2ⁿ разных распределений истинностных значений для букв, т.е. таблица для такой формулы содержит 2ⁿ строк.

Нормальные и совершенные нормальные формы.

Опр: Элементарной конъюнкцией (ЭК) наз К эл-ных выск-ний и их отрицаний.

Свойства ЭК: 1. если ЭК содержит одно и то же высказывание несколько раз, то его можно оставить только один раз; 2. если ЭК содержит истинное высказывание, то его можно опустить.

Утверждение. Чтобы ЭК была тождественно ложной или противоречием необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалось хотя бы одно высказывание со своим отрицанием.

Опр: Элементарной дизъюнкцией (ЭД) наз. Д элем-ных выск-ний и их отрицаний.

Опр: Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А наз равносильная (логически эквивалентная) ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Теорема о ДНФ. Любую формулу логики высказываний можно представить в виде ДНФ.

Опр: Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А наз равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Теорема о КНФ. Для любой формулы существует единственная ДНФ и КНФ специального вида, называемые совершенными.

Опр: ЭК, содержащую n различных выс-ний, в кот-ю каждое выс-ние входит точно один раз  или без отриц-я, или с отр-ем  будем называть правильной ЭК длины n,  ПЭК.

Опр: ЭД, содержащую n различных выс-ний, в кот-ю каждое выск-ние входит точно один раз  или без отрицания, или с отрицанием  будем называть правильной ЭД длины n,  ПЭД.

Опр: Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) наз такая ДНФ, в кот все ЭК являются правильными длины n, где n  общее число пропозициональных букв в формуле.

Опр: Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) наз такая КНФ, в кот все ЭД являются правильными длины n, где n  общее число пропозициональных букв в формуле.

Теорема о СДНФ. Любую выполнимую формулу логики высказываний можно представить в СДНФ и это представление единственное.

Теорема о СКНФ. Любую формулу логики высказываний, не являющуюся тавтологией, можно представить в СКНФ и это представление единственное.

Тавтология. Формула является тавтологией, когда она истинна независимо от того, какие значения принимают встречающиеся в ней пропозиционные буквы.