Динамика вязкого газа, турбулентность и струи
.pdf7.2. Интеграл Крокко |
71 |
Для течения газа с Pr = 1 температура теплоизолированной поверхности равна температуре торможения. Хорошее приближение для реальных газов дает модифицированный интеграл Крокко
T Tw 1 r |
1 |
M2 |
Tw u r |
1 |
M2u2 |
, |
(7.14) |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где r – коэффициент восстановления. Тогда температура теплоизолированной пластины в потоке реального газа будет
T |
1 r |
1 |
M2 . |
(7.15) |
w |
2 |
|
Для ламинарного течения r = Pr (для турбулентного течения r = 3Pr ). Интеграл Крокко (7.12) и распределение скорости Блазиуса позволяют восстановить в физических переменных профили скорости и температуры в пограничном слое пластины для заданного числа Маха. Для этого сначала запишем распределение температуры в переменных Дородницына, подставив профиль Блазиуса u( ) в выражение (7.12). Мы получим распределение T( ).
Затем вычисляем интеграл, который следует из (7.3):
y = т Td . |
(7.16) |
0 |
|
Результаты вычисления дают связь переменных y и |
, что позволяет вы- |
разить скорость в зависимости от физической координаты y, а затем, опять используя (7.12), получить зависимость T(y).
T/T |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
y |
u |
0 |
8 |
16 |
24 |
32 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.1 |
|
|
|
72 |
7. СТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ |
Сопротивление пластины для данного случая сводится к уже рассмотренному случаю плоской пластины в несжимаемом потоке:
C f = 1,328 / Re , Re = VҐl Ґ Ґ . |
(7.17) |
На рис. 7.1 и 7.2 приведено несколько профилей скорости и температуры для чисел M 10 и теплоизолированной поверхности при показателе степени n = 0,76. При возрастании числа Маха отчетливо видны спрямление профилей скорости, рост толщины пограничного слоя и сильный нагрев поверхности.
u/u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
M = 10 |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
y |
|||
0 |
8 |
16 |
24 |
32 |
|
|
||
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.2
Задача 7.1
Вывести зависимость интегральных толщин пограничного слоя от числа Маха для теплоизолированной пластины. Считать, что число Прандтля Pr = 1,
а= Т.
Задача 7.2
Два сверхзвуковых потока с температурами торможения T0I, T0II и числом Маха MI, MII разделены тонкой пластиной. Оценить температуру пластины. Параметры торможения заданы, число Прандтля Pr = 1 и = Т. Дополнитель-
ное условие Re11 = u1 = u2 = Re12 .
1 2
Задача 7.3
Тонкая пластина с температурой Tw обтекается сверхзвуковым потоком с числом Маха М и температурой торможения Т0. Найти максимальную температуру в пограничном слое.
|
8.1. Пространственный пограничный слой на скользящем крыле |
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
В данном разделе мы рассмотрим два простейших случая течений в пограничном слое, когда составляющие скорости есть во всех трех направлениях. Расчет трехмерных течений сложен вследствие больших математических трудностей. Мы ограничимся простейшими случаями осесимметричных течений, допускающими сведение их к двумерной, уже решенной задаче. Трехмерный пограничный слой на скользящем крыле будет исследован
лишь качественно.
8.1.Пространственный пограничный слой на скользящем крыле
Пожалуй, самой простой задачей теории пространственного пограничного слоя является задача о стационарном пограничном слое на цилиндрическом теле бесконечного размаха. Выберем систему координат согласно
рис. 8.1 и пренебрежем ролью кривизны |
|
|
|
|
|||||||||
поверхности. В этом случае |
уравнения |
U |
|
V |
|
||||||||
движения |
несжимаемого газа будут |
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
|
||||||||||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¶u |
|
¶u |
|
dV |
|
¶2u |
|
|
W |
|
|
|
u |
+ v |
= V |
+ |
, |
|
|
w |
|
|||||
¶x |
¶y |
dx |
¶y2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
u |
|||||
|
|
|
|
|
|
¶2w |
|
|
|
|
|
||
|
u |
¶w |
+ v |
¶w |
= |
, |
|
|
|
x |
|
||
|
¶x |
¶y |
¶y2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.1 |
|
74 |
|
|
|
|
8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ |
|
|
u |
v |
0, |
|
(8.1) |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
y |
|
|||
|
|
|
|
|||
при граничных условиях |
|
|
|
|
||
u(0) = v(0) = w(0) = 0, |
u( ) |
V , w( ) W . |
(8.2) |
Система (8.1) с граничными условиями (8.2) распадается на две. Первое и третье уравнения соответствуют уже решенной плоской задаче. Второе уравнение, после определения u и v, становится линейным уравнением относительно w и служит для его определения.
Наиболее прост случай косого обтекания плоской пластины. Здесь
u( ) = V |
= const, w( ) = W = const. |
(8.3) |
|||
Первое и второе уравнения системы (8.1) становятся тождественными по |
|||||
записи, из чего с учетом граничных условий следует: |
|
||||
|
|
w(x, y) = const u(x, y), |
(8.4) |
||
или |
|
|
|
|
|
|
w |
= const = |
WҐ |
= tg ( Ґ ). |
(8.5) |
|
u |
|
|||
|
|
VҐ |
|
Из (8.5) следует, что направление линий тока в пограничном слое совпадает с направлением внешних линий тока. В этом случае вторичные течения отсутствуют и наклон пластины не влияет на развитие пограничного слоя.
В случае косого обтекания симметричного цилиндрического тела должны выполняться граничные условия (8.2). Не претендуя на строгость, рассмотрим сугубо качественно поведение линий тока для такого течения. Решение для первого и третьего уравнений системы (8.1) уже было найдено. Профили продольной скорости будут изменяться от сильно наполненных в области разгона потока вблизи передней кромки до отрывного профиля с нулевой производной ¶u¶y на поверхности. За точкой отрыва возникает возвратное тече-
ние. Соответствующие профили нанесены на рис. 8.2.
Второе уравнение системы (8.1) не содержит градиент скорости внешнего течения. Можно ожидать, что профиль скорости в трансверсальном направлении будет наполненным. Предположим, что они не сильно отличаются от профиля скорости на пластине, и нанесем их на рис. 8.2.
8.1. Пространственный пограничный слой на скользящем крыле |
75 |
|||
> 0 |
= 0 |
< 0 |
= –12 |
Возвратное |
|
|
|
|
течение |
а |
б |
в |
г |
д |
|
|
Рис. 18. |
|
|
|
|
Рис. 8.2 |
|
|
Сравним направление линий тока на внешней границе пограничного слоя и направление «предельной» линии тока на поверхности крыла. Так как на участке разгона потока (рис. 8.2, а) профиль скорости в продольном направлении более наполнен, чем в трансверсальном, можно ожидать, что «предельная» линия тока отклонится от внешней и корневой части крыла. В области нулевого градиента давления (рис. 8.2, б) обе линии тока будут иметь одинаковое направление. В области торможения (рис. 8.2, в) более наполнен будет трансверсальный профиль. «Предельная» линия тока начнет разворачиваться по направлению к внешней части крыла. В области отрывного профиля продольной скорости течение будет направлено вдоль крыла, к его консоли (рис. 8.2, г). В возвратном течении (рис. 8.2, д) «предельная» линия тока будет подтягиваться к линии отрыва. Положение линий тока на крыле показано на рис. 8.3.
Такое стекание пограничного слоя у поверхности вдоль крыла может приводить к утолщению пограничного слоя и преждевременному отрыву.
W |
V |
Предельная |
|
|
линия тока |
|
Внешняя |
|
|
линия тока |
х |
|
|
Рис. 8.3
76 |
8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ |
Одним из способов предотвращения стекания пограничного слоя на стреловидных крыльях является установка продольных перегородок – «гребней».
8.2.Установившиеся осесимметричные пограничные слои
Другой из простейших примеров трехмерного пограничного слоя – пограничный слой на теле вращения, установленном под нулевым углом атаки (рис. 8.4). Такая задача легко преобразуется в соответствующую задачу для двумерного потока. Запишем уравнения пограничного слоя в криволинейных координатах:
|
|
ж |
¶u |
|
|
¶u ц |
|
|
|
|
dP |
|
|
¶ |
|
ж |
|
¶u ц |
|
|
|
|||||
|
|
зu |
|
|
+ v |
|
ч |
= - |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
з |
|
ч |
, |
|
|
||||
|
|
¶x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
и |
|
|
¶y ш |
|
|
|
|
|
|
¶y и ¶y ш |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
¶ |
(r |
|
u) + |
¶ |
(r |
v) = 0, |
|
|
|
|
(8.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
¶x |
|
¶y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
ж |
¶h |
|
¶h |
ц |
|
|
dP |
|
|
1 ¶ |
|
ж |
|
¶h |
ц |
|
ж |
¶u ц |
2 |
|||||||
зu |
¶x |
+ v |
|
|
ч |
= u |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
ч |
+ |
з |
ч |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и |
|
¶y ш |
|
|
dx Pr ¶y и ¶y ш |
|
и ¶y ш |
|
где r – радиальное расстояние.
V(x) y
x
V |
r0(x) |
|
Рис. 8.4
8.2. Установившиеся осесимметричные пограничные слои |
77 |
Граничные условия остаются прежними. Потребуем, чтобы << k–1 и << (dk / dr)–1/2, где k – кривизна поверхности тела в меридиональном сечении.
Тогда радиальное расстояние r можно заменить на радиус поверхности тела r0(x) и уравнение неразрывности в системе (8.6) примет вид
¶ |
(r0 |
u) + |
¶ |
(r0 u) = 0. |
(8.7) |
|
¶x |
¶y |
|||||
|
|
|
|
Дополнительное условие – (x) << r0(x). Введем функцию тока
r0 |
u = |
¶ |
, |
r0 |
v = - |
¶ |
. |
(8.8) |
¶y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
¶y |
|
Преобразуем систему (8.6) к новым переменным с помощью преобразований Степанова–Манглера:
|
x |
|
|
|
x |
= т r02dx , |
y |
= r0 y . |
(8.9) |
|
0 |
|
|
|
Поперечную скорость преобразуем согласно равенству
|
|
v |
|
1 dr |
|
|||
v |
= |
|
+ |
|
|
|
0 |
yu. |
r |
r |
2 |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Остальные параметры потока оставим прежними:
|
|
= v, |
|
= |
|
|
= |
|
= h, |
|
= . |
u |
= u, v |
|
, P = P, |
|
, h |
|
Используя выражения (8.8) и (8.10), из (8.6) и (8.7) получим
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ ж |
|
|
ц |
|
|
|
||||
|
|
ж ¶u |
¶u |
|
|
|
dP |
|
|
¶u |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
зu |
|
+ v |
|
|
ч |
= - |
|
|
|
+ |
|
|
з |
|
|
ч , |
|
|
||||||
|
|
|
и |
¶x |
|
|
¶y |
ш |
|
|
|
dx |
|
|
|
¶y и ¶y |
ш |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
u ) |
+ |
|
|
( |
v ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж |
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¶ ж |
|
|
|
ц |
ж |
|
ц |
2 |
||||
¶h |
|
¶h |
|
dP |
|
|
|
¶h |
¶u |
|
|||||||||||||||||
зu |
|
+ |
|
ч |
= u |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
ч + |
|
з |
|
ч . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и |
|
¶x |
|
¶y |
ш |
|
|
|
dx Pr ¶y |
и |
|
¶y |
ш |
|
и ¶y |
ш |
|
(8.10)
(8.11)
78 8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
Мы получим тот же самый вид уравнений, что и для плоского случая. В каче-
( )
стве решения для данного V x можно использовать уже известное решение,
которое преобразованием Степанова–Манглера сводится к рассматриваемой осесимметричной задаче.
8.3.Пограничный слой на конусе
впродольном сверхзвуковом потоке
Будем предполагать, что круговой конус обтекается сверхзвуковым потоком, параллельным оси конуса и что при заданном числе Маха набегающего потока ударная волна присоединена к вершине конуса. За ударной волной течение газа будет потенциальным и коническим, давление на поверхности – постоянным. Так как продольный градиент давления равен нулю, задача о пограничном слое на конусе сводится к задаче о пограничном слое на пластине.
Используем преобразования Степанова–Манглера. Из равенства (8.9) получим
r |
|
|
= ax , |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
, |
|
= axy , |
(8.12) |
( |
) |
x |
= |
|
|
a |
|
x |
|
y |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
0 x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a = sin ( – полуугол раствора конуса). Пограничные слои на конусе и
на пластине автомодельные. Профили продольной скорости и температуры в автомодельных переменных задаются едиными распределениями как для конуса, так и для пластины. Масштабные множители, задающие связь координат конуса и пластины, определяются соотношением (8.12).
Примем одинаковыми значения продольных координат на конусе и пла-
стине x x . Это означает, что надо принять
=
x = a2x3 / 3 или ax = |
|
|
3. |
(8.13) |
Тогда нормальные к поверхности координаты будут связаны соотношением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
axy |
3 y , |
|||||
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
||||
т. е. при одинаковых х |
толщина пограничного слоя на пластине в 3 раз |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
больше, чем на конусе, и |
3 . |
|
|
|
|
8.4. Общий подход к проблеме пространственного пограничного слоя |
79 |
Сравним между собой напряжение трения xy для конуса и для пластины:
|
ж |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy = |
¶u |
|
|
|
|
|
xyr0 = |
|
|
xyax. |
|
||
w з |
|
ч |
|
|
= |
|
|
(8.14) |
|||||
|
и ¶y |
ш y |
=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда из (8.14) получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xy |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
Аналогичным образом вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* = * / |
|
|
|
** = ** / |
|
|
|
|
|||||
|
3, |
3 . |
(8.15) |
Толщины пограничного слоя на конусе и пластине будут совпадать, если расстояние вдоль потока на пластине взять в три раза меньше, чем на конусе. В этом случае будут совпадать распределения продольных скоростей и профили температуры.
8.4.Общий подход к проблеме пространственного пограничного слоя
Для простоты рассмотрим пограничный слой на плоской пластине и его уравнения запишем в декартовой системе координат. Помимо координаты x вдоль обтекаемой поверхности и координаты y по нормали к ней введем
еще одну координату z вдоль поверхности. В этих координатах запишем уравнения пространственного несжимаемого пограничного слоя. Коэффициент вязкости также будем полагать постоянным.
ж |
¶u |
|
|
¶u ц |
|
|
¶P |
|
¶2u |
|
|
|
|
зu |
¶x |
+ v |
ч |
= - |
¶x |
+ |
¶y2 |
, |
|
||||
и |
|
|
¶y ш |
|
|
|
|
|
|
||||
ж |
¶w |
+ v |
¶wц |
= - |
¶P |
+ |
¶2w |
, |
(8.16) |
||||
зu |
|
ч |
|
|
¶y2 |
|
|||||||
и |
¶x |
|
|
¶y ш |
|
|
¶z |
|
|
|
|
||
|
|
¶u |
+ ¶v |
+ |
¶w |
= 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
¶x |
|
¶y |
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
80 8. ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
Два первых уравнения являются уравнениями движения вдоль координат на обтекаемой поверхности, а последнее уравнение есть уравнение неразрывности. Здесь давление также не зависит от координаты y .
Чтобы решить некоторую задачу с помощью этих уравнений в области (0 < x < x0, 0 < y < y0, 0 < z < z0 ) , необходимо поставить граничные условия.
Как и в двумерном случае, на поверхности обтекаемого тела ставятся условия прилипания, т.е. задаются равными нулю все компоненты скорости. На внешней границе пограничного слоя y = y0 задается распределение давления и две компоненты скорости u, w , параллельные поверхности тела. Чтобы выяснить, какие условия необходимо задавать на боковых границах, необходимо рассмотреть характеристические свойства уравнений.
Пусть Q(x, y, z) = 0 – характеристическая поверхность, тогда она должна удовлетворять следующему характеристическому уравнению:
ж ¶Q ц2 з ч и ¶y ш
0
¶Q ¶x
0
0
¶Q ¶y
|
0 |
|
|
|
ж |
¶Q ц |
2 |
= 0 . |
(8.17) |
з |
ч |
|
||
и ¶y ш |
|
|
|
|
|
¶Q |
|
|
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если раскрыть определитель и приравнять его нулю, то получим одно уравнение для характеристической поверхности ¶¶Qy = 0 . Отсюда следует,
что любая поверхность Q(x, z) = const , ортогональная к обтекаемой, – это
характеристическая поверхность, и уравнение (8.16) является параболическим, как и в двумерном случае. Следовательно, как и в двумерном случае, возмущения из любой точки пограничного слоя распространяются вдоль координаты y с бесконечной скоростью. Однако теория характеристик не
дает информацию, как распространяются возмущения вдоль двух других координат.
Решение этой проблемы было предложено Вонгом в 1971 году. Он пренебрег вязкими членами в уравнении (8.16) и составил новое характ е-