Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

5.2. Задача Блазиуса

Из всех частных случаев распределения (5.1) особое значение имеет случай с m = 0. Он соответствует равномерному потоку, омывающему полубесконечную пластину (Blasius, 1908). Для того чтобы точно соответствовать решению Блазиуса, исключим из замены (5.7) множитель 2. Тогда из (5.8) мы получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение

Блазиус получил решение задачи (5.10) – (5.11), применив разложение функции f( ) в ряд в окрестности = 0 и асимптотическое разложение для = , сшив эти разложения в некоторой подходящим образом выбранной точке.

В настоящее время проинтегрировать уравнение (5.10) численно не составляет труда. Некоторое неудобство создает то, что граничные условия заданы на различных концах интервала. Для того чтобы поставить задачу Коши,

Выражение (5.14) – закон Блазиуса для сопротивления продольно обтекаемой пластины. Он применим только для ламинарного течения.

В заключение отметим, что решение Блазиуса в разные времена неоднократно подтверждалось измерениями.

6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Во многих задачах аэронавтики и гидротехники требуются быстрые методы расчета, дающие возможность оценить характеристики пограничного слоя, не прибегая к громоздким аналитическим или численным вычислениям. В данном параграфе мы рассмотрим однопараметриче-

ские методы, основанные на интегральной форме записи уравнений пограничного слоя. В настоящее время они во многом потеряли свою актуальность, но, по крайней мере, представляют историческую ценность, показывая, как даже в отсутствие точных методов человеческий разум может получать надежные данные, используя общие положения и немного изобретательности.

Основная идея приближенных однопараметрических методов состоит в том, чтобы аппроксимировать профили скорости некоторыми функциями с одним или большим числом параметров (формпараметров). Эти параметры являются функциями продольной координаты и указывают, к какому сечению надо отнести приближенный профиль. Зависимость параметров от продольной координаты получают из интегрального условия, вытекающего из теоремы импульсов.

6.1. Интегральное условие импульсов

Рассмотрим установившийся двумерный поток, для которого уравнения пограничного слоя имеют вид (4.17). Умножим уравнение неразрывности на u и сложим с уравнением (4.17). Получим

Тогда уравнение (6.4) можно записать в виде

которое, в свою очередь, можно представить как

Уравнение (6.13) дает общий вид преобразованного уравнения импульсов в случае однопараметрического набора профилей. Его необходимо проинтегри-

66 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ровать численно от х = 0. Функции g( ) и k( ) затабулированы, однако интегрирование вызывает определенные сложности из-за особых точек в начале координат и в точке минимума давления. Условие монотонности роста скорости (производная скорости не должна иметь нулей внутри интервала 0 < < 1, за исключением границ) накладывает на еще одно ограничение. Из условия

¶¶uy = 0 при y > 1 получим, что 12. Отметим, что эти ограничения справедли-

вы для двумерных пограничных слоев. В случае трехмерного течения условие монотонности может нарушаться. Например, немонотонные профили скорости возникают в продольном направлении на крыльях со скольжением.

Установлено, что метод Кармана–Польгаузена дает хорошие результаты для ускоряющихся (конфузорных) течений, но менее удовлетворительно описывает замедляющиеся (диффузорные) течения. Профили скорости, полученные по этому методу, отстают от точных профилей в развитии, положение отрыва затягивается, иногда даже пропадает. В целом можно констатировать, что метод Кармана–Польгаузена оказался сложным и недостаточно точным. Было создано много других однопараметрических методов, использующих идею метода Кармана–Польгаузена, гораздо более простых и точных.

Задача 6.2

Рассчитать пограничный слой на пластине приближенно. Аппроксимировать распределение скорости в пограничном слое выражением u = A sin(By + C).

Задача 6.3

Рассчитать пограничный слой в критической точке приближенно. Аппроксимировать распределение скорости в пограничном слое полиномом второй степени.

Задача 6.4

Применить метод Польгаузена для течения над плоской пластиной V(x) = V, получить интегральные характеристики пограничного слоя.

7. СТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

НА ПЛАСТИНЕ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

В данном разделе будет рассмотрена задача о продольном обтекании пластины потоком газа при достаточно больших числах Рейнольдса и любых числах Маха, для которых газ можно считать сплошной средой, а ко-

эффициенты теплоемкости постоянными. Мы будем рассматривать некоторый гипотетический газ, для которого вязкость линейно зависит от температуры, а число Прандтля равно единице (впрочем, близкий по своим свойствам к воздуху, для которого T 0,75, Pr = 0,72).

Обратимся к системе уравнений (4.14). Перепишем ее в безразмерном виде, сделав некоторые упрощения в связи с рассматриваемой задачей.

1.Положим dP/dx = 0.

2.Введем понятие энтальпии h = CpT и полной энтальпии h0 = h + u2/2.

3.За линейный размер вдоль x примем L; вдоль y – L / Re .

4.За характерную скорость вдоль x возьмем V, вдоль y – V / Re .

hn.

Граничные условия на скорость будут иметь вид

u(0) = v(0) = 0, u( ) = 1;

Граничные условия на температуру могут быть двух родов: а) задана энтальпия на поверхности

h(0) = hw, h( ) = 1.

б) условие отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины (теплоизолированная пластина)

¶h¶y = 0 при y = 0, h( ) = 1.

7.1. Распределение скорости

А.А. Дородницын (1942) указал общее преобразование координат, приводящее первые два уравнения системы (7.1) к форме, совпадающей с задачей Блазиуса. Это преобразование имеет вид

Перейдем в первом уравнении системы (7.1) к новым переменным с учетом уравнения состояния и закона для вязкости [последние два равенства в (7.1)]. Получим

т. е. u и v удовлетворяют уравнению неразрывности. Тогда для n = 1 из (7.4) и (7.6) можно составить следующие уравнения:

По форме записи уравнения (7.7) совпадают с задачей Блазиуса, т.е. в переменных ( , ) распределение скорости будет соответствовать уже решенной задаче об обтекании плоской пластины несжимаемым потоком.

7.2. Интеграл Крокко

Рассмотрим теперь уравнение энергии в системе (7.1). Для числа Pr = 1 оно примет вид

Уравнение (7.8) по форме записи совпадает с первым уравнением системы (7.1). Из этого следует существование очевидного частного интеграла

здесь М – число Маха на границе пограничного слоя. Постоянные a и b определяются из граничных условий

Подстановка констант в (7.10) дает квадратичную связь между температурой и скоростью, которая носит имя интеграла Крокко