Динамика вязкого газа, турбулентность и струи

12.9. Универсальные законы распределения скоростей для больших чисел Рейнольдса 141

При увеличении n экспериментальные данные лучше согласуются с теоретическими для больших чисел Рейнольдса, хуже – для малых (см. рис. 12.4, кривая 5, которая получена для n = 10).

Из (12.65) выведем выражение для v* :

При увеличении n в показателе степенной зависимости распределения скоростей должны стремиться к логарифмической зависимости.

12.9.Универсальные законы распределения скоростей для больших чисел Рейнольдса

При увеличении Re показатель степени 1/n уменьшается. Поэтому реальным кажется предположение о том, что в этом случае должен быть справедлив логарифмический закон, как предельный для очень малой степени. С физической точки зрения такие законы характеризуются тем, что учитывается только турбулентное трение, ламинарное же становится несущественным.

Вернемся к рассмотрению логарифмического закона в виде (12.50):

Aln B .

Сравнение с опытами Никурадзе для гладких труб дает A = 2,5, B = 5,5. Логарифмический закон распределения скоростей применим также к шероховатым трубам. В зависимости от величины шероховатости мы получим разные значения B. Значение A остается неизменным.

В непосредственной близости от стенки в ламинарном подслое выполняются равенства

0 = dudy , или 0 = uy = v*2 .

Из этих равенств получим

На рис. 38 формулам (12.68) соответствует кривая 1. Измерения показывают, что:

при < 5 – ламинарное течение;

при 5 < < 70 – ламинарно-турбулентное течение; при > 70 – турбулентное течение.

12.10.Универсальный закон сопротивления для гладких труб при больших числах Рейнольдса

Выведем из логарифмического закона для распределения скоростей закон сопротивления. Пусть

Вычислим среднюю по сечению трубы скорость, приняв во внимание, что y в (12.69) отсчитывается от стенки, а в интеграл (12.58) входит радиус, т.е. r = R – y.

Преобразуем выражение Rv* / , входящее в (12.70), к следующему виду:

Подставив выражение (11.71) и (11.72) в (11.70), получим соотношение

которое можно записать как

Выражение (11.74) известно как универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб. Для A = 2,5 и B = 5,5 расчет дает l = 2,035, b = 0,91. Из экспериментов Никурадзе получены достаточно близкие к ним значения l = = 2,0, b = 0,8, справедливые до Re = 3,2 106. На рис. 2.3 закону сопротивления Прандтля соответствует кривая 3.

12.11.Турбулентный пограничный слой на плоской пластине

Расчет турбулентного пограничного слоя на плоской пластине проведем на основе приближенного интегрального метода. Сложность расчета заключается в том, что в интегральное уравнение импульсов входит напряжение трения на стенке, которое будет определяться течением в ламинарном подслое, аппроксимация же профиля скорости зависимостью (12.57) или (12.50) справедлива в развитом турбулентном течении. Необходимо смыкание ламинарного и турбулентного течений в некоторой правильно выбранной точке течения.

где Re = V / . Из опытных данных следует, что переход ламинарного течения в турбулентное происходит при Reл = 12,5. Если принять n = 7, то формулу (12.80) можно преобразовать к выражению

что с точностью до четвертого знака после запятой совпадает с (12.67). Уравнение импульсов пригодно и для турбулентных течений. Для пло-

ской пластины оно будет иметь вид

Для вычисления * и ** можно воспользоваться степенной аппроксимацией (12.77) во всем пограничном слое. Ошибка из-за пренебрежения ламинарным подслоем в интегралах не будет слишком велика. После вычислений получим

Будем считать, что турбулентное течение начинается непосредственно от передней кромки пластины ( = 0 при x = 0). Решение уравнения (12.84) с учетом принятого предложения дает

Опыт дает значение постоянной в (12.87), равное 0,074.

В том случае, если переход ламинарного течения в турбулентное происходит на некотором расстоянии xn от передней кромки, сопротивление пластины по Прандтлю

В реальных течениях число Рейнольдса перехода может изменяться в широких пределах. Его значение зависит от уровня и спектрального состава турбулентности набегающего потока и состояния поверхности пластины.

Полученные формулы справедливы до тех пор, пока справедлив закон Блазиуса, т.е. для Re< 105, что дает ReL 107.

Задача 12.1

Вывести коэффициент сопротивления гладкой трубы для степенного распределения скорости. Показать, что при n = 1/7 получим закон Блазиуса.

13. СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Термин «свободная турбулентность» обычно используют для обозначения потоков, которые непосредственно не соприкасаются с твердыми границами. Турбулентность в таких течениях может распростра-

няться в поперечном направлении в окружающую среду. Наиболее характерные примеры таких потоков: свободная граница струи, свободная струя, след за телом. Такие течения обладают свойствами, характерными для пограничных слоев; протяженность течения в поперечном направлении мала по сравнению с продольным. Следовательно, для их расчета можно использовать уравнения пограничного слоя.

Рассмотрим плоскую двумерную задачу. Уравнения Прандтля для нее будут иметь следующий вид:

¶¶ut + u ¶¶ux + v ¶¶uy = 1 ¶¶y ,

(13.1)

¶¶ux + ¶¶yv = 0.

Здесь под мы будем подразумевать только турбулентное трение. В отсутствие твердых границ оно намного превосходит ламинарное. В уравнениях (13.1) опущен член ¶P¶x , так как в первом приближении в задачах о свободной

турбулентности давление можно считать постоянным.

Для того чтобы проинтегрировать уравнения (13.1), необходимо знать связь со скоростью течения. В данном разделе рассмотрим три предложенные Прандтлем формулы:

причем = 32 2 (V1 -V2 )t .

В решение задачи входит эмпирическая постоянная = l/b, которую можно определить только из опыта. Скорость в зоне смещения переходит в скорость невозмущенного течения не асимптотически, в точках y = b произ-

водная ¶2u¶y2 терпит разрыв. Такой недостаток присущ всем решениям, по-

лученным на основе формулы Прандтля (13.2).

13.2. Плоский след

Рассмотрим стационарное течение на больших расстояниях x позади тела толщиной d и высотой h, где скорость спутного течения u1 = V – u << V (рис. 13.2). Вспомним решение для ламинарного следа. В разделе 9, не принимая каких-то специальных предположений о том, что течение ламинарное, мы получили из теоремы импульсов некоторый закон сохранения, справедливый и для турбулентного течения в следе:

Из оценки интеграла, входящего в (13.14), следует, что хорошим приближением будет равенство