Лекция - ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логика высказываний является разделом математической логики, в котором рассматриваются сложные предложения, получающиеся из предложений, принимаемых за элементарные высказывания, соединенных союзами «И», «ИЛИ», «ИЛИ…ИЛИ», «ЕСЛИ…, ТО», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» и присоединением к ним частицы «НЕ».

Высказывание – это предложение, которое может оцениваться по его истинности, а не с точки зрения его содержания.

Неделимое высказывание называется элементарным.

Сложные высказывания соединяются логическими связями или связками «И», «ИЛИ», «ИЛИ … ИЛИ», «ЕСЛИ …, ТО», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» и частицей «НЕ».

Логика высказываний занимается не смыслом высказывания, а анализирует, истинно оно или ложно.

Про истинное предложение говорят, что его логическим значением является истина, а про ложное – что его логическим значением является

ложь.

Примеры элементарных высказываний:

«пять – нечетное число», «трава голубая», «Томск – столица Сибири». Следующие предложения не являются высказываниями: «уходя, гасите

свет», «сколько Вам лет?» и т. п. Такого типа выражения в логике высказываний не рассматриваются.

Вестественном языке союзы и частица «НЕ» имеют не вполне отчетливое значение, а некоторые из них могут употребляться в различных смыслах. Например, союз «ИЛИ» может быть разделительным (как в фразе «выбирай, он или я») или неразделительным (как в фразе «от шума или света

япроснулся», в которой не исключается, что «я проснулся» от общих причин).

Влогике высказываний принято ставить в соответствие высказываниям буквы и называть их логическими переменными.

Рассмотрим выражение: Если в следующее воскресенье будет плохая погода и я не достану билет на концерт, то я схожу в кино или буду готовиться к зачету. Разобьем это высказывание на элементарные высказывания и обозначим их буквами:

а – в следующее воскресенье будет плохая погода; b – я достану билет на концерт;

c – я схожу в кино;

d – буду готовиться к зачету. Выражение примет следующий вид: Если a и не b, то c или d.

Для сокращения письма связки обозначаются соответствующими

знаками: ¬, ; , ~, , . Смысл операций (связок) устанавливается соответствующими таблицами, поскольку определить операцию – это значит

х → у – истина, то у – истина:

(х (х → у)) → у

8. Modus tollens (правило устранения). Если х имплицирует у и у ложно, то х ложно:

((х → у) ¬у) → ¬х

9. Закон силлогизма. Если из х следует у и из у следует z, то из х следует z:

(x → y) (y → z) → (x → z) 10. Тривиальные тождества:

Л→А, А→И.

Булевы формулы

Булевыми формулами назовем такие формулы, в которых отсутствуют знаки операций ; ~; . Рассмотрим основные равносильности булевых формул. Эти равносильности носят название законов. Доказательство законов можно провести с помощью таблиц истинностей. Пусть А, В и С – формулы. Тогда для них справедливы следующие законы:

1.Коммутативные:

А В = В А, А В = В А.

2.Ассоциативные:

А(В С) = (А В) С,

А(В С) = (А В) С. 3. Идемпотентности:

АА = А,

АА = А.

4. Дистрибутивные:

(А В) С = А С В С, А В С = (А В) (А С).

5. Де Моргана:

A B A B,

AB A B.

6. Двойного отрицания:

A A.

Интерпретации

Определим формальную систему, в которой заданы переменные a, b, c,…; операции над переменными , , ¬; правила построения правильных формул; для придания более общего характера, заменим Л и И на 0 и 1. В результате получим булеву алгебру.

Интерпретации:

1.Булева алгебра высказываний. Считается, что a, b, c,… –

высказывания. Значения 0 и 1 кодируем значениями Л и И. Операции рассматриваются как логические связки НЕ, ИЛИ, И.

2.Булева алгебра множеств. Считаем, что a, b, c,… – множества, 0 и

1 интерпретируются как и Т, а операции: как дополнение ¯, объединение, пересечение .

3.Булева алгебра событий. Переменные a, b, c,… – представляют события. Событие имеет место или нет. Несомненное событие обозначается

1.Если событие не наступило – 0. Операции представляются символами , ,. Здесь – отрицание события, – сумма событий, – произведение событий. Операциям придается определенный смысл. Сумма событий – это событие, которое наступает, когда, по крайней мере, наступает одно из этих событий а, b. Произведение событий – событие, которое наступает тогда, когда оба события имеют место. Алгебра событий является фундаментом теории вероятностей.

4.Теория электрических цепей. Используются те же самые булевы формулы. Переменные a, b, c, … ставятся в соответствие электрическим цепям. Интерпретация рассматривается с точки зрения возможности цепи проводить ток. Цепь может находиться в двух состояниях: проводимом и не проводимом (см. рисунок 3.1).

а

b

Рисунок 3.1. Дизъюнкция

a b – означает параллельное соединение двух цепей, ток проходит, если проводит a или b (см. рисунок 3.2).

Рисунок 3.2. Конъюнкция