Ряды - Мазур Н.А. - 2003
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21 |
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( 2)n |
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27. |
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, |
0,001. |
||
(n 1)n |
||||||||||
|
n 1 |
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|
||||||
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( 1)n 1 |
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|||||
28. |
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, |
0,0001 . |
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( 2n )! 2n |
|
|||||||||
|
n 1 |
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|
||||||
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( 1)n |
|
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29. |
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|
, |
|
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|
0,001. |
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(2 n)3 |
|
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||||||
|
n 1 |
|
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|
|
|
|
|||
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( 1)n 1 |
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|
|||||
30. |
|
|
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|
|
, |
0,0001 . |
||
(3n 1)! |
||||||||||
|
n 1 |
|
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|
Задача 4. Довести граничну рівність шляхом дослідження збіжності ряду з відповідним загальним членом
1. |
lim |
nn |
|
0 . |
2. |
lim |
(2n)n |
0 . |
|||||
|
|
(2n 1)! |
|||||||||||
|
n (2n)! |
|
|
|
n |
|
|||||||
3. |
lim |
nn |
|
0 . |
4. |
lim |
n2 |
0 . |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
n (n!) |
|
|
|
n n! |
|
|
|
|||||
5. |
lim |
nn |
|
0 . |
6. |
lim |
(3n)n |
0 . |
|||||
|
|
|
(2n 1)! |
||||||||||
|
n (2n |
1)! |
|
|
n |
|
|||||||
7. |
lim |
nn |
|
0. |
8. |
lim |
|
23n |
|
0 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n (n!)3 |
|
|
|
n |
n! |
|
|
|
22
9.lim
n
11.lim
n
13.lim
n
15.lim
n
17.lim
n
19.lim
n
21.lim
n
nn |
|
(2n 1)! 0 . |
|
nn |
0 . |
((2n 1)!)2 |
nn 0 .
(2n 3)!
|
|
nn |
|
|
0 . |
|
((n 2)!)2 |
||||||
n! |
0 . |
|
||||
|
|
|||||
nn |
|
|
|
|||
(n 1)! |
0 . |
|||||
|
nn |
|||||
|
|
|
|
|||
(3n)! |
|
0 . |
|
|||
2 |
(n2 ) |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
23. |
lim |
(n 2)! |
0. |
|||
|
nn |
|||||
|
n |
|
|
|||
25. |
lim |
|
(4n)! |
0 . |
||
|
|
|||||
|
n |
2 |
(n2 ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
10. |
lim |
(2n)n |
0 . |
||
|
|
||||
|
n (2n 1)! |
|
|||
12. |
lim |
|
nn |
0 . |
|
|
2n2 |
||||
|
n |
|
|
14.lim
n
16.lim
n
18.lim
n
20.lim
n
22.lim
n
24.lim
n
26.lim
n
(5n)n (2n 1)! 0 .
n2 1 0 .
(2n)!
(2n)! 0 . 2(n2 )!
(n 1)! 0 . nn
n5 |
|
||
|
0 . |
||
(2n)! |
|||
(n 4)! |
0. |
||
nn |
|||
|
n3 0 .
(4n )2
23
27. |
lim |
(n 3)! |
0 . |
28. |
lim |
(n 3)! |
0 . |
|||||
|
nn |
|
nn |
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
||||
29. |
lim |
|
(5n)! |
0 . |
30. |
lim |
|
n5 |
0 . |
|||
|
|
(n2 ) |
|
|
||||||||
|
|
|
(4n)! |
|||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Задача 5. Знайти область збіжності степеневого ряду
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(3x )n |
|
2 n ( x 2)n |
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1. |
а) |
|
|
|
; |
б) |
|
; |
|
|
|
(5n 4)2 |
|||||
|
||||||||
|
n 1 |
|
5 n |
n 1 |
|
2.а)
3.а)
4.а)
5.а)
6.а)
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
( x )n ; ( n 3)2 en
(2 n 1) xn
3n (5n3 4)
;
( 2 x )n ; 5 n
n xn |
|
; |
|
||
2n2 |
|
|
|
||
5 |
|
||||
( 1)n |
|
xn |
; |
||
5n 9 |
|||||
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
( x 7)n |
|||||
|
|
|
; |
|
|
3n |
2 |
|
|||
|
|
|
|||
( x 5)n |
|||||
|
|
; |
|
||
3n2 |
4 |
||||
|
|
|
|||
( x 3)n |
|||||
|
|
; |
|||
2n3 |
|
||||
4n 1 |
(x 4)n |
|
; |
|
|
|
|
|
||
3n ( n 4) |
||||
(x 5)n |
||||
|
|
; |
||
2n ( n2 |
4) |
|||
|
24
7. а) n 1
8. а) n 1
|
4n 1 xn |
|||
|
; |
|||
1 3n n2 |
||||
|
n 2 |
|
2 |
|
|
|
|
xn ; |
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
( x )n |
|
|
|
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|||||||
9. |
а) |
|
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|
; |
|
|
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|
|
|
||||
|
|
|
|
|
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||||||||
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|
n 1 |
4 n 1 |
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
|
( 4x ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
3 2 n2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(5x ) |
n |
|
|
|
|
|
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||||||
11. |
а) |
|
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|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
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|
|
|
||||||
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|
n 1 |
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
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|||||||
12. |
а) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
(5n |
4) n2 |
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
( 3)n xn |
|
|
||||||||||||
13. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
n 1 |
( n 2)! |
|
|
||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
x |
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
2n2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
3 2 |
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
3n ( x 1)n ; (2 5n )3
( 1)n ( x 1)n ; 2n 9
( x 7)n ; (3n 2)!
( x 1)n ; 2 5n
( x 3)n ; (2 5n) (2n 3)
( x 1)n ; n 4n
( x 6)n ;
3 n3 2
( x 1)n ; n3 5
15.а)
16.а)
17.а)
18.а)
19.а)
20.а)
21.а)
22.а)
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
|
|
|
|
25 |
n 3 |
|
x n |
||
|
|
|
|
; |
|
|
|||
n |
|
5 |
|
( 1)n 1 xn ; ( n 2) 3n
(5n 3) xn ; (3n 1)!
nx n
; n 1 4
|
x n |
n3 |
||
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
4 |
(n 2)! |
|
xn |
|
1 |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
n xn |
|
|
; |
|
|||
|
|
2n2 |
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
x n |
|
|
n2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
(n 1)! |
|
|
n ( x 6)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
3n2 |
7 |
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( x 4)n |
||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 1 |
(2n 3) (2n 1) |
|||||||||||
|
|
( x 4)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x 3)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
( x 4)n |
||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
5n 9 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n ( x 8)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
|
3n 5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x 1)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
4n ( n |
5) |
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( x 3)n |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
5n ( n |
2) |
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
||||||||||
|
|
|
3 |
n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
23 |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n2 n! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(n 2) xn |
||||||||||||||||||||
24. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
3n2 4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n xn |
|||||||||||||||
25. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n ( n 3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 1 |
2n 1 (3n 1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( n 3) (2x)n |
|||||||||||||||||||
27. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
( n |
2)! |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3n xn |
||||||||||||||||
28. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
n2 |
( n |
2) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
xn |
||||||||||||||||
|
|
|
n 4 |
||||||||||||||||||||
29. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3n |
|
|
|
xn |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 4 |
||||||||||||||||||
30. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
(2n)! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n ( n 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( x 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4n (3n 5) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( 1)n |
( x 2)n |
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||
n3 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( x 4)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
3 2n3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
( x 4)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 2n3 4n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( x 4)n |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
( x 5)n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( x 5)n n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n7 6n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Задача 6. Розвинути в ряд Тейлора за степенями „ x ” функцію y f (x) і вказати область збіжності цього ряду
|
y |
|
x |
||
1. |
|
|
|
. |
|
3 |
|
|
|||
8 x |
2. y 2x cos2 x x .
3. |
y ln (1 2x 3x2 ) . |
||
4. |
y |
1 |
. |
|
|||
12 x x2 |
5.y 1 e x 2 .
6.y ln (1 x 6x2 ) .
|
y |
|
|
x3 |
|||
7. |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 3x |
||
8. |
y 2 e x 2 . |
||||||
9. |
y |
|
1 |
|
sin 2x cos2x . |
||
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
16. y |
|
x2 |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
4 5x |
17. |
y |
2x sin |
2 |
|
|
x |
|
x |
. |
|||
|
|
|
|
4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
y x sin |
2 x |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
y |
arctg x |
|
1. |
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.y 1x (cos2x 1) .
21.y x 4 3x .
|
y |
x |
|
|
|||
22. |
|
|
. |
|
|
|
|
3 4x |
|
|
|||||
|
|
|
2 x |
|
|
||
23. |
y arctg 3 . |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
24. |
y x2 arctg |
|
. |
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
y 2 e 3x 2 . |
|
|
|
|
25. |
|
|
y x3 cos 3x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
y sin 2x cos2x . |
|
|
|
|
26. |
|
|
y ln (1 2x 8x2 ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
y e x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
y sin 2 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
y sin |
|
x |
|
x |
cos |
x |
. |
|
28. |
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
9 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
e |
x |
e |
x |
1. |
|
|
|
|
29. |
|
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y ln ( x2 3x 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
30. |
|
|
9 3x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 7. Обчислити наближено з точністю 0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
arctg 0,4 . |
|
|
|
2. |
|
5 1,2 . |
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 10 . |
||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
520 |
. |
|
|
|
6. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
9. |
4 1,05 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
38 . |
|
|
|
|
|
12. |
3 228 . |
13.4 19 .
16.cos 7 .
19.sin 15 .
22. |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
e3 |
|||||
|
|
|
|
25.ln1,15 .
28.cos 9 .
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
ln 1,18. |
15. |
3 10 . |
|||||||||||
17. |
ln 1,08 . |
18. |
1 |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||
20. |
ln 1,2 . |
21. |
sin |
1 |
|
. |
||||||||
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
cos2 8 . |
24. |
sin 2 4 . |
|||||||||||
|
cos 0,5. |
|
5 |
|
|
|||||||||
26. |
27. |
|
36 |
|
. |
|||||||||
|
sin 11 . |
|
|
|
|
|||||||||
29. |
30. |
3 30 . |
Задача 8. Обчислити визначений інтеграл, розвинувши підінтегральну функцію в степеневий ряд і проінтегрувати перші три його члени. Оцінити похибку результату.
|
0,5 |
|
x 2 |
|
|
0,2 |
ln (1 x) |
|
|
1. |
|
e |
dx . |
2. |
|
|
|
dx . |
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
0,4 |
sin x |
|
4. |
0,2 |
arctg x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
dx. |
|||
|
|
x |
|
x |
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
5. |
cos (2x2 ) dx . |
|
0 |
0,3
7.sin (2x) dx .
0
9. |
0,1 |
|
1 e 4x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,4 |
1 e 2x |
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 3 8 x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
0,3 |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin |
|
dx . |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,8 |
|
|
d x |
|
|
|
|
||||||
17. |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 16 x2 |
30
|
0,3 |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
e |
dx . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
0,5 ln 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 arctg |
x |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4
12.cos (5x) dx .
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
5x |
|
|
|||
14. |
|
|
|||||
cos |
2 |
dx . |
|||||
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
ln (1 2x) |
|
||||
16. |
|
|
|
|
|
|
dx . |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 arctg |
|
x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
18. |
|
|
|
dx. |
|||
x |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
|
1 |
|
|
d x |
|
|
||
19. |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
3 8 |
x2 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
||||
|
0,4 |
|
2x2 |
|
|
|||
21. |
|
e |
5 dx . |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
dx
23. .0,5
0 5 32 x5
0,2
25.sin 35x dx .
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
3x 2 |
|
|
|
27. |
|
8 |
dx . |
|
||
|
e |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
arctg 2x |
|
|||
29. |
|
|
|
|
|
dx . |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
dx
20.4 16 .0 x 20,5
|
0,6 |
x 2 |
|
||||||||||
22. |
|
|
|||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
0,3 |
1 ln |
1 |
x |
dx . |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
5 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 arctg |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
26. |
|
|
4 |
|
|
dx. |
|||||||
x |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
28. |
0,1 |
|
ln (1 4x) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
30. |
|
sin (4x |
) dx . |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Задача 9. Знайти три перші, відмінні від нуля, члени розвинення в степеневий ряд розв’язку задачі Коші
1. |
y 2cosx xy2 , |
y (0) 1. |
|
|
|||||||||||
2. |
y |
|
y cos x x , |
|
y (0) 1, |
|
0 . |
||||||||
|
|
y (0) |
|||||||||||||
3. |
y xy y x , |
y (0) 0 , |
|
1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||
4. |
y |
2x |
2 |
y 0 , |
|
y (0) 0 , |
|
1. |
|||||||
|
|
|
y (0) |
||||||||||||
5. |
y x2 y y3, |
|
y (0) 1. |
|
|
||||||||||
6. |
y 2xy 0 , |
|
|
|
y (0) 1. |
|
|
||||||||
7. |
y |
|
xy |
|
1 y , |
|
y (0) 1, |
|
1. |
||||||
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||
8. |
y |
|
xy |
|
y x , |
y (0) 1, |
|
1. |
|||||||
|
|
|
y (0) |
||||||||||||
9. |
xy y |
|
|
0 , |
|
|
|
y (0) 1, |
|
0 . |
|||||
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||
10. |
y x y2 , |
|
|
|
y (0) 1. |
|
|
||||||||
11. |
y |
(2x 1) y |
2 |
1, |
y (0) 0 , |
|
1. |
||||||||
|
y (0) |
||||||||||||||
12. |
y |
yy |
x |
2 |
, |
|
|
y (0) 1, |
|
1. |
|||||
|
|
|
y (0) |
13.y x2 y ,
14.y xy y 1 ,
15.y x2 y 2xy 1,
16.y xy y x ,
17.y xy y x ,
18.y xy y 1,
19.y x2 y ,
20.y 2 y x 2 ,
21.y x2 y2 ,
22.y x2 y2 ,
23.y 2cos x x y ,
24.y xy 0 ,
25.y (1 x ) y2 ,
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
y (0) 1, |
|
1. |
26. |
y x 2 y |
2 |
|
1, |
y (0) 0 . |
||||
y (0) |
|
|
||||||||||
y (0) 1, |
y (0) 0 . |
27. |
y xy3 0 , |
|
|
|
y (0) 1. |
|||||
y (0) 1, |
|
0 . |
28. |
y 3sin x x |
2 |
y , |
y (0) 1. |
|||||
y (0) |
|
|||||||||||
y (0) 1, |
|
0 . |
29. |
y e |
x |
y |
2 |
0 |
, |
y (0) 1. |
||
y (0) |
|
|
||||||||||
y (0) 0 , |
|
1. |
30. |
y y cosx y3 , |
y (0) 1. |
|||||||
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (0) 1, |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y (0) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 0,5 .
y (0) 1.
y (0) 0 .
y (0) 1, |
|
1. |
y (0) |
y (0) 1.
33