Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Операційне числення. ТР

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

764.21 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1. Перелік необхідних формул для виконання завдання. А. Таблиця зображень

																								№																													№
Функція Зображення																													Функція Зображення

					1						1																	e	t															2								2
					1																			1.1				e			sin t													2								2	1.10

												p																						( p )
												p																						( p )

					n							n!																	t													p
				t																				1.2.				e			cos t																						1.11.
				t							p			n			1							1.2.				e			cos t				( p )										2							2	1.11.
											p																								( p )

		e		t									1															e		t													2								2
		e																						1.3.				e				sh t											2								2		1.12
										p														1.3.									( p )																				1.12
										p																							( p )

t			n												n!																t									p
e		t																						1.4.				e				ch t																					1.13
e		t																		n	1			1.4.				e				ch t	( p )										2								2		1.13
								( p )																									( p )
a	t												1																												2 p					2				2
a																								1.5.							t sin t 2															2				2			1.14
							p ln a																	1.5.												( p												)					1.14
							p ln a																													( p												)

sin t															2							2																	p2 2											2
sin t															2							2		1.6.						t cos t											2						2			2			1.15
												p												1.6.													( p											)					1.15
												p																									( p											)

cos t															2				p			2																	2 p						2				2
cos t															2							2		1.7.							tsh t							2							2				2				1.16
												p												1.7.									( p														)						1.16
												p																					( p														)

sh t													2								2																p2					2						2
sh t													2								2			1.8.								tch t							2					2				2					1.17
											p													1.8.										( p												)							1.17
											p																							( p												)

ch t													2				p				2
ch t													2								2			1.9.
											p													1.9.
											p

						Б. Формули для перетворення тригонометричних виразів
1. cos2									1	1 cos 2 ,													sin 2		1	1 cos 2										(2.1)
1. cos2										1 cos 2 ,													sin 2		2	1 cos 2										(2.1)
							2																		2
2. sin sin														1			(cos cos )																			(2.3)
2. sin sin														2			(cos cos )																			(2.3)
														2
3. cos cos																1			(cos cos )																	(2.4)
3. cos cos															2				(cos cos )																	(2.4)
															2
4. sin cos															1			(sin sin )																		(2.5)
4. sin cos															2			(sin sin )												e x						(2.5)
															2
Гиперболический синус : sh x																											e x									(3.1)
Гиперболический синус : sh x																												e x			2					(3.1)
																															2
Гиперболический косинус: ch x																															e x					(3.2)
Гиперболический косинус: ch x																																2				(3.2)
																																2

1. Знайти зображення функцій

1.1. а) 5t sin 2t cos6t ;

б) 3t 2

1 2 ;

1.2. а)

3t cos3t cos5t ;

б) t10

7t5

2t ;

1.3. а) e3t sin 2 2t ;

б) 5t 2 3 ;

1.4. а) cos2 t ;

б) 5t 7

5 4 ;

1.5. а) sin 2 t ;

б)

4 3t 3

2 ;

1.6. а) t cos2 3t ;

б)

5t 4

t 3

4t 2 3t 1;

1.7. а) t sin 2 3t ;

б)

1 t 3 ;

1.8. а) sh5t ;

б)

3t 3 2t 2

t 5;

1.9. а) ch5t ;

б)

t 2 2 2 ;

1.10. а) sht cos3t ;

б) t9 t 7

3t3 ;

1.11. а) cht sin 2t ;

б) 2t 2

1 2 ;

1.12. а) cht cos3t ;

б)

3t 4 5t 2

1 ;

1.13. а) t ch5t ;

б)

3t 3

3t 2 2 ;

1.14. а) t sh5t ;

б) 5t 5

3t 3

12 ;

1.15. а) 3 t sh2t ;

б) t 2 3 ;

1.16. а) e2t cos2 3t ;

б) 2t 1 3 ;

1.17. а) e2t sin 2 3t ;

б)

t 6

2t 4

t 3

ch4t cos4t ;

t 3

1.18. а)

б)

;

1.19. а) t 2 sin 4t ;

б) t 6

2t 4

t 3

1.20. а) sin 3t cos7t ;

б) t 7

2t 4

5t ;

1.21. а) t 2 cos4t ;

б)

t 3 4t 2

5t 7 ;

1.22. а) 2cos3tch2t ;

б)

t 2

5 2 ;

1.23. а) sin 5t sin 3t ;

б)

t 7

2t 4

5t ;

1.24. а) sin 2t cos3t ;

б)

3t 2

5 2 ;

1.25. а) sh3t sin 3t ;

б)

t 8 5t 4

2 ;

1.26. а) sin 2t sh5t ;

б)

3 2 ;

1.27. а) ch5tch7t ;

б)

5t 5 3t 4 ;

1.28. а) sin 3tch4t ;

б)

2t 3

1 2 ;

1.29. а) sh3tch4t ;

б)

4t 3 7t 2 2t ;

1.30. а) 0.5(ch4t sin 4t) ;

б)

t 5

t 2

8 .

Розв’язання задачи

а) Найти зображення функції t 2 sin2 t 2t

Скористаймося рівностями:
sin 2 t										1 cos2t										,			2t			et ln 2 .
sin 2 t																				,			2t			et ln 2 .
															2
Отримаэмо:
t 2 sin 2 t 2t																		1	t 2					1	t 2		cos2t et ln 2
t 2 sin 2 t 2t																			t 2						t 2		cos2t et ln 2
																	2						2
Для знаходження зображення використовуються такі твердження:
																																																								n									n
1.		Якщо fi														(t) Fi ( p) ,													Ci		const 's ,																	i 1,n , то Ci fi (t) Ci Fi ( p) .
																																																								i 1									i 1
				n											n!																						p2 2																				1
2.		t																,				t cos t																												,			e t
2.		t											p n 1					,				t cos t													( p			2								2	)	2		,			e t				p
													p n 1																						( p												)										p
																																														d
3.		Якщо f(t) F ( p) ,																								то t f (t)																				d				F( p)
3.		Якщо f(t) F ( p) ,																								то t f (t)																			dp					F( p)
																																													dp
Таким чином, маємо:
2					2										t	1 2! 1 d																				p2				4													1				1 12 p p3																1

t	sin						t 2																3
t	sin						t 2																3			2 dp											2						2															3			( p		2	4)					3				ln 2
																		2 p								2 dp					p								4												p		ln 2 p								( p			4)							p		ln 2
	y 2t2 3 2 e2 x sin 2																										3t cos2t cos5t sh3t sin 4t 4t4 12t2 9
в)					2 x						1															1																									e3 x e 3 x																4					2
	e												(1			cos6t)												(cos3t cos7t)																													sin 4t 4t											12t
	e												(1			cos6t)												(cos3t cos7t)																													sin 4t 4t											12t
											2															2																													2
9						1			e2 x e2 x cos6t																				1	cos3t											1		cos7t										1	e3x sin 4t							1	e 3 x sin 4t
9									e2 x e2 x cos6t																					cos3t													cos7t											e3x sin 4t								e 3 x sin 4t
					2																						2													2													2							2
		1						5!																										1						5!																			1
4												формула1.2															12																	формула1.2 9																	формула1.1
4											5	формула1.2															12															5		формула1.2 9																	формула1.1
		5!						p			5																							3!						p		5																	p
		5!						p																										3!						p																			p
	1							1																							1									p 2																							1				p
														формула1.3																																						формула1.11																		формула1.7
														формула1.3																													2									формула1.11														2				формула1.7
	2																																										2						36														2 p			2		9
	2		p									2																				2 p 2																	36														2 p					9
	1								p							формула1.7																	1										4									формула1.10
	2 p2											49				формула1.7																	2 p 3 2																16			формула1.10
	2 p2											49																					2 p 3 2																16
	1												4								формула1.10
	2 p 3 2																16				формула1.10
	2 p 3 2																16

в) Найти зображення функції y t 2 sin 5t t cos3t tch2t

Розглянемо спочатку вираз t2 sin 5t . Використовуючи властивість

				dF( p)									5			'							10 p		( p),
				dF( p)				t sin5t																	( p),
t f (t)						;						2								p		2		2
t f (t)				dp		;						2										2		2
				dp						p				25										25

											10 p 2 p								2 p				2	25		40 p
		2						'			10 p 2 p								2 p					25		40 p
Тоді	t		sin 5t = t ( p) = ( p)
Тоді	t		sin 5t = t ( p) = ( p)														2									2
																	2					4				2	3
															p							4				p	3
															p				25							p	25
			40 p		p		2	9							p		2	4
									формула1.15												формула1.17
y
y	p2			3	p			2							p					2
	p2			25	p		2	9							p		2		4

Знайти зображення функції, заданої графіком

Задамо функцію аналітично:

	0,t 0

f (t) t 1,1 t 2
	2 t,t 2.
	2 t,t 2.

Очевидно, що на інтервалі ( ;2) f (t) cпівпадає з функцієюt 1 t 1 . Тут (t) - функція Хевісайда:

0, t 0

(t)

1, t 0.

При переході з цього інтервалу на півінтервал 2; f (t) змінюється на величину 2 t (t 1) 2t 3 (2t 3).

Отже, дістанемо:

f (t) (t 1) (t 1) (2t 3) (t 2) (t 1) (t 1) 2(t 2) 1 (t 2)

(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2) (t 2).

Враховуючи, що (t)

t (t)

та користуючись теоремою

запізнення ( f (t) F ( p) f (t 2) e p F ( p) , отримаємо:

e p

e 2 p

(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2) (t 2)

3. Знайти оригінал за даним зображенням

1.1. а)	3 p2 3	;	б)	8
	p3 p 2 2 p			( p 2 1)2

1.2.

а)

p 3

;

p3 2 p 2 3 p

1.3.

а)

5 p 2 10 p 3

;

p 1 p 2 2

1.4.

а)

22 p 20

;

p3 4 p

1.5.

а)

;

p 3 1

1.6.

а)

3 p 10

;

p 1 p 2 2

1.7.

а)

;

p 1 p 2 p 2

1.8.

а)

p 5

;

p3 p 2 p 1

1.9.

а)

2 p 1

;

p 3 p 2 2

1.10. а)

5 p 1

;

p 3 p 2 p 4

1.11. а)

3 p2 5

;

p3 p 2 p 1

1.12. а)

p 2 p

;

p 2 2 p 3

1.13. а)

3 p 1

;

p 1 p 1 p 2

1.14. a)

;

p3 8

1.15. а)

3 p 1

;

p 1 2 p 2

1.16. а)

p 2 5

;

p3 6 p 2 8 p

1.17. а)

4 p 5

;

p 2 p 2

4 p 5

1.18. а)

p 3

;

p3 2 p 2

1.19. а)

2 p 3

;

p 1 p 5 p 3

1.20. а)

p 5

;

p 1 p 2

2 p 5

б)

2 p

( p 2 4 p 8)2

б)

p 2

;

( p 2

6 p 10)2

б)

;

p 4 4 p 2 4

б)

;

p( p 2 1)2

p 2

б)

;

( p 2 1)2

б)

;

p( p 2 9)2

б)

;

( p 2

42 p 10)2

б)

;

( p 2

4)2

б)

2 p

;

( p 2 4 p 5)2

б)

p 1

;

( p 2

6 p 13)2

б)

;

p 4 6 p 2 9

б)

;

p( p 2 4)2

б)

p 2

;

( p 2

4)2

б)

2 p 1

;

( p 2

1)2

б)

;

( p 2

8 p 20)2

б)

;

( p 2

9)2

б)

;

( p 2 2 p 2)2

б)

3 p 1

;

( p 2 4 p 8)2

б)

;

( p 2

9)2 p

1.21. a)

2 p 1

;

б)

;

p3 p

p 4 2 p 2 1

1.22. a)

3 p 2 1

;

б)

3 p

;

p3 p

( p 2

9)2

1.23. а)

2 p 1

;

б)

3 p 1

;

p 1 2 p 3

( p 2

9)2

1.24. а)

2 p 7

;

б)

;

p 1 2 p 3

( p 2

10 p 29)2

1.25. а)

2 p 7

;

б)

2 p

;

p3 2 p 2

p 2

( p 2 16)2

1.26. а)

5 p

;

б)

2 p

;

p 2 p 2 2 p 2

( p 2

8 p 17)2

1.27. а)

3 p 2 7

;

б)

;

p 3 2 p 1

( p 2

4 p 13)2

1.28. а)

2 p 5

;

б)

;

p 4 p 1 p 3

p( p 2

9)2

1.29. a)

;

б)

;

p3 8

p 4 8 p 2 16

1.30. а)

3 p 1

;

б)

p 2

;

p3 4 p 2

4 p

( p2 16)2

Знайти оригінал за даним зображенням

а)

5 p 2 p2

p3 2 p2 5 p

Запишемо розвинення раціональної функції

F ( p)

5 p 2 p2

на прості дроби.

p3 2 p2

5 p

5 p 2 p2

Bp C

Ap 2 2Ap 5A Bp2 Cp

p3 2 p2 5 p

p( p2 2 p 5)

p p2 2 p 5

p( p2 2 p 5)

A B 2

2A C 1

5A 5

A 1,

C 1,

B 3.

Таким чином, за таблицею зображень, маємо:

F ( p)

3 p 1

3( p 1) 2

p 1

2 2 p

( p 1)2

( p 1)2 4

p p

5 p

4 p ( p 1)2 4

e t cos2t e t sin 2t.

( p 1)

б)	p2
	( p2 1)2

Запишимо зображення у вигляді добутка та скористаємося теоремою про згортку:


якщо f1 (t) F1 ( p) ,								f2 (t) F2 ( p) , то

									1
									f1 (t ) f2 ( )d F1 ( p)F2 ( p) .
									0
		Одержимо:
		2p	2	2			2p	2p				t						t
		2p		2			2p	2p			cos(t )cos d						1 cost cos(t 2 )d

	( p 1)					p 1 p 1						0					2 0
1				t		1				t			1		1				1		1
1		cost		t		1	sin(t 2 )						1	cost	1	( sin t sin t)			1	cost	1	sin t .
		cost					sin(t 2 )							cost		( sin t sin t)				cost		sin t .
2				0	4					0			2		4				2		2

4.Розв’язати задачу Коши операційним методом


4.1.	y,, 3y,		et 3e2t ,
	y 0 1,		y, 0 1.
4.2.	y,, 3y,		4 y t e t ,
	y 0 2,		y, 0 1.
4.3.	y,, y sin t 2et ,
	y 0 1,		y, 0 2.
4.4.	y,, 3y,		cos t 3,
	y 0 2,		y, 0 0.
4.5.	y,, 2 y, 10 y t et ,
	y 0 1,		y, 0 1.
4.6.	y,, y, 2e t 5sin t,
	y 0 3,		y, 0 1.
4.7.	y,, 2 y,		3y 3t e2t ,
	y 0 1,		y, 0 1.
4.8.	y,, 4 y cos 3t te2t ,
	y 0 2,		y, 0 3.
4.9.	y,, 4 y sin 2t 2t,
	y 0 4,		y, 0 0.
4.10.		y,, y tet 2t 2 ,
		y 0 1, y, 0 2.
4.11.		y,, y,	2 y t 1 e3t ,
		y 0 1, y, 0 1.

4.16.	y,, y, t 2 e t ,
	y 0 0,	y, 0 1.
4.17.	y,, 3y,	10y e2t	tet ,
	y 0 3,	y, 0 2.
4.18.	y,, y 2 cos t e t ,
	y 0 0,	y, 0 1.
4.19.	y,, 9 y t 5e3t ,
	y 0 2, y, 0 1.
4.20.	y,, 9 y 3 cos 2t,
	y 0 0,	y, 0 2.

4.21.y,, 4 y, 4 y 8 5e2t , y 0 0, y, 0 2.

4.22.y,, 3y, 2 y 3e t t,

0 4, y, 0 1.y

4.23.y,, 25y 3sin 5t 8, y 0 5, y, 0 2.

4.24.y,, 2 y, 3t 2et , y 0 1, , 0 0.y

4.25.	y,, 8y,	16 y sin 4t 5e 2t ,
4.25.	y 0 2,	y, 0 3.
4.26.	y,, 16y	te4t cos 3t,
4.26.	y 0 0,	y, 0 3.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20193.76 Mб82Метод. ЗО 2 семестр.doc
#
06.06.20191.8 Mб13МЕТОД. ТРИГОН. УРАВН. и неравенства.doc
#
06.06.20192.56 Mб20Методичка.doc
#
06.06.2019486.7 Кб7Неопределенный интеграл - Звекова Н.П. Полетаева Л.О. 2009.pdf
#
06.06.2019657.71 Кб6операційне числення Слинько 2011.pdf
#
06.06.2019764.21 Кб4Операційне числення. ТР.pdf
#
06.06.2019620.65 Кб5Ряды - Мазур Н.А. - 2003.pdf
#
06.06.2019612.03 Кб8Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007.pdf
#
06.06.2019428.59 Кб4Сист-лін-рівн-ТР-Семіренко-к2.pdf
#
06.06.2019269.52 Кб3Статистичний ряд - Мазур..pdf
#
06.06.2019814.81 Кб11Т.Р . 1999 Вступ до аналізу. Похідна.pdf