Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

том неравенства (60.7) имеем: Sn - и~ <А, т. е. Sn <и~+ А. Так как

последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограни­

чена сверху (числом и~+ А), то, по признаку существования предела,

имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится.

n

при п-+ оо. Учитывая, что Sn > Jf(x) dx + Un (см. (60.7)), получаем,

1

J f(x) dx, где k Е N, k > 1. Отбрасывание k первых членов ряда

k

в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость)

ряда.

х nx

450

Ряд

(60.8)

J'Де р > О - действительное число, называется обобщеннuм гармони­

'Ческим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим

интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о

сходимости не дают).

Рассмотрим функцию f(x) = 1Р. Эта функция непрерывна, моно­

Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакополо­

жительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого

положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практи­

ке.

§ 61. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

бl.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующи­ мися. Знако"tередующимся рядом называется ряд вида

где Un > О для всех п Е N (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаmо'Чниi1, признак

сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бер­ нулли).

451

Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1)

сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. щ > и2 >из > · · · > ип > ... ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: lim иn =О. n-400

При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам

О Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов

ряда (61.1). Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, поло­

жительно. Следовательно, сумма S2m > О и возрастает с возрастанием

номера 2m.

С другой стороны, S2m можно переписать так:

S2m = щ - (и2 - из) - (и4 - U5) - ... - (u2m-2 - и2m-1) - и2т·

Легко видеть, что S2m < щ. Таким образом, последовательность S2, 84,

нов ряда (61.1). Очевидно, что S2m+1 = S2m + U2m+i· Отсюда следует,

как при четном п, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (61.1)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (61.1).

Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы

Лейбница, называются леttбницевскими (или рядами Лейбница).

liJ 2. Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную

оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного

452

ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) предста-

11ляет собой также знакочередующийся ряд (-1)п+1 (ип+1 -ип+2 + ... ),

сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е.

Нп < ип+l· Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных

•1ленов.

Пример 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда

f)-l)n-1. ln·

п

n=l

сделаем ошибку, меньшую, чем -Ь = 46~56 < 0,00003. Итак, S:::::: 0,7834.

•

бl.2. Общий достаточный признак сходимости

знакопеременных рядов

~Знакочередующийся ряд явл~ется частным случаем знакопере­

менного ряда. Числовой ряд L: un, содержащий бесконечное мно­

n=l

жество положительных и бесконечное множество отрицательных чле-

нов, называется знакоnеременн'ЬtМ.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общи11 доста­ mо'Чн:ы11 признак сходи.мости.

Теорема 61.2. Пусть дан знакопеременный ряд

знакопеременный ряд (61.4).

453

О Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов

(61.4) и (61.5):

00

(и~+ lиil) + (и2 + lи2I) + · · · + (un + Junl) + · · · = ~)ип + lипl).

n=1

00

Очевидно, что О :::; Un + lиnl :::; 2Junl для всех п Е N. Но ряд I: 2Junl

n=l

сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1)

. Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится

00

и ряд I: (ип + lиnl). Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4)

n=1

представляет собой разность двух сходящихся рядов

00 00 00

n=l n=l n=l

то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится.

•

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится

ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5).

При.мер 61.2. Исследовать сходимость ряда f: (-l)n+l .1.

n=l n

Q Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены

условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходит­ ся. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е.

61.3.Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Знакопеременный ряд называется абсо.ttюmно с:z:одящи.мся,

если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется усл,овно с:z:од.ящи.мс.я, если

сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расхо­

дится.

Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд

n=1

454

Абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,

1~ходится (см. пример 60.4).

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани­

мают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства ко-

11ечных сумм (переместительность, сочетательность, распределитель-

11ость).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без до­

казательства.

liJ 1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму 8, то ряд, полу-

. ченный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту

же сумму 8, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 81 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящий­

ся ряд, сумма которого равна 8 1 + 82 (или соответственно 8 1 - 82).

3. Под произведением двух рядов и~ + и2 + ... и v1 + v2 + ... пони­

мают ряд вида

(uiv1) + (uiv2 + u2v1) + (и1Vз + u2v2 + изv1) + ...

···+ (utVn + U2Vn-1 + ···+ UnV1) + ···

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами 8 1 и 82 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 81 ·82.

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычи­ таются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не за­

висят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утвержде­

ния (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добить­

ся того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ~ + i -!+ ...

условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна 8. Пе­

репишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ря­

да можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или

расходящийся ряд (теорема Римана).

455

Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

/Лекции 53-551

§62. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

62.1. Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функ­

циональным:

n=1

Придавая х определенное значение х0, мы получим числовой ряд

ut(xo) + и2(хо) + ... + ип(хо) + ... ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

~Если полученный числовой ряд сходится, то точка х0 называет­ ся mo-чкoii. сходи.мости ряда (62.1); если же ряд расходится -

mo-чкoii. расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргументах, при которых функ­ циональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма являет­

ся некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области

сходимости равенством

S(x) = lim Sn(x), где Sп(х) = ut(x) + и2(х) + ... + un(x) -

n-too

частичная сумма ряда.

00

Пример 62.1. Найти область сходимости ряда L xn.

n=O

Q Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии

со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при lxl < 1,

Пример 62.2. Исследовать сходимость функционального ряда

~sinn2 x

~2 •

n=1 n

457

Q Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного

а ряд с общим членом А сходится (обобщенный гармонический ряд,

п

р = 2 > 1, см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится

при х Е Jlt Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех

~Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях осо­

бую роль играет ряд, членами которого являются степенные функ­ ции аргументах, т. е. так называемый cmeneн'НOii. pяiJ:

n==O

Действительные (или комплексные) числа ао, а1 , а2, .•• , an, ... на­

зываются коэффициентами ряда (62.3), х Е IR - действитель-

ная переменная.

Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также сте­ пенной ряд, расположенный по степеням (х - х0), т. е. ряд вида

n==O

где Хо - некоторое постоянное число.

Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить х-х0 = z.

Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степен­ ными рядами вида (62.3).

§ 63. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3).

Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: х =О (ряд {62.4) сходится в точке х = х0).

63.1. Теорема Н. Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из

следующей теоремы.

Теорема 63.1 (Абель). Если степенной ряд (62.3) сходится при

х = хо ;/ О, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удо­

влетворяющих неравенству lxl < !хо1-

458

00

О По условию ряд I: anxo сходится. Следовательно, по необходимо­

n=О

му признаку сходимости lim anxo = О. Отсюда следует, что величина n--+oo

anXo ограничена, т. е. найдется такое число М > О, что для всех п

выполняется неравенство lanxol ~ М, п =О, 1, 2, ...

Пусть lxl < lxo 1, тогда величина q = 1; 0 1 < 1 и, следовательно,

lanxnl=lanxol·l:;1~M·qn, n=0,1,2, ... ,

т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствую­ щего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. По­ этому по признаку сравнения при lxl < lxol ряд (62.3) абсолютно схо­

ходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству lxl > lx1 j.

Q Действительно, если допустить сходимость ряда в точке х2, для

которой lx2I > lx1I, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых lxl < lx2I, и, в частности, в точке Х1, что противоречит усло­

63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если Хо -:/:- О есть точка сходимо­

сти степенного ряда, то интервал (-lxo 1; lxo 1) весь состоит из точек

сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала

ряд (62.3) расходится.

Рис. 259

Е§1 Интервал (-lxol; lxol) и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив lxol = R, интервал сходимости можно

записать в виде (- R; R). Число R называют радиусом сходимости

степенного ряда, т. е. R > О - это такое число, что при всех х, для

которых lxl < R, ряд (62.3) абсолютно сходится, а при lxl > R ряд расходится (см. рис. 259).

459