1 Перелік практичних занять

Практичне заняття №1-2

Тема. Розв´язання задач лінійного програмування

Мета: навчитися методам розв´язання задач лінійного програмування.

Короткі теоретичні відомості

1. Загальна задача лінійного програмування (З.З.Л.П.)

З.З.Л.П. зображується у вид

max (min) (1)

а₁₁X₁ + а₁₂X₂ + …... + а_1nX_n = b₁

а₂₁X₁ + а₂₂X₂ + …... + а_2nX_n = b₂ (2)

а_m1X₁ + а_m2X₂ + …... + а_mnX_n = b_m

X₁ ≥ 0; X₂ ≥ 0; …..., X_n ≥ 0 (3)

де a_ij, b_i, C_j - задані постійні величини, (i=1;..m , j=1;..n).

2. Основні визначення З.З.Л.П.

Визначення 1. Планом чи припустимим рішенням З.З.Л.П. називається =(X₁,...X_n), що задовольняє (2-3).

Визначення 2. План називається опорним, якщо вектори , що входять у розкладання (2) з позитивними X_j (X_j>0) лінійно незалежні.

Тому що вектори m-мірні, то в опорному плані число його компонент більших нуля, від може перевищувати m.

Визначення 3. Опорний план * не вирождений, якщо він містить m позитивних компонентів, якщо меньш m позитивних компонентів, те * вирождений.

Визначення 4. Оптимальним планом З.З.Л.П. ⁰ називається план, що доставляє мінімум функції мети Z.

3. Вимоги до З.Л.П. для можливості її рішення симплексом-методом.

З вищевикладеного випливає, що застосування симплекса-методу вимагає наявності початкового опорного плану З.Л.П. При канонічній формі зображення З.Л.П. з обмежень задачі легко одержати такий опорний план. Канонічна форма З.Л.П. задовольняє трьом вимогам:

1. обмеження – у виді рівностей;

2. праві частини b_i≥0;

3. кожне обмеження містить базисну перемінну. Загальний вид З.Л.П. у канонічній формі

(4)

.

Завдання до теми

_{1. Постановка загальної задачі лінійного програмування.}

2. Методом Жордана-Гаусса:

а) знайти початковий опорний план і обчислити Z( );

б) перейти до іншого опорного плану й обчислити Z( ).

3. Для одного з опорних планів виразити базисні змінні через вільні, перейти від рівностей в обмеженнях задачі до нерівностей і розв´язати задачу геометрично.

4.Виходячи з опорного плану з «гіршою» функцією мети замінити задачу лінійного програмування в канонічній формі та розв´язати її симплекс-методом.

5.Розв´язати вихідну задачу методом штучного базису.

Контрольні питання

1. Задачі, що приводять до поняття математичного програмування.

2. Загальна постановка задач математичного програмування.

3. Загальна задача лінійного програмування (З.3.Л.П.).

4. Властивості розв’язання 3.Л.П..

5. Графічний метод розв’язання 3.Л.П..

6. Симплексний метод розв’язання 3.Л.П..

7. Побудова опорних планів 3.Л.П..

8. Умови оптимальності опорного плану 3.Л.П..

9. Алгоритм симплексного методу.

10. Метод штучного базису.

Література: [1, с. 37–68; 4, с. 49– 75; 7, с. 5– 31].

Практичне заняття №3

Тема. Розв´язання задачі про розподіл ресурсів з економічним аналізом отриманих результатів

Мета: навчитися методам розв´язування задачи про розподіл ресурсів і проведення економічного аналіза отриманих результатів.

Короткі теоретичні відомості

Змоделюємо вихідну задачу про розподіл ресурсів. Для цього позначимо за X_j кількість одиниць j-ой продукції, планованої для виробництва. Тоді математична модель: знайти X=(X₁,X₂,..,X_n) , дозволяючий

(5)

і що доставляє

(6)

Змоделюємо двоїсту задачу.

Позначимо через y_i (i=1,…,m) вартість одиниці i-го виду ресурсів. Тоді вартість усіх ресурсів дорівнює , а вартість усіх ресурсів, що йдуть на виготовлення одиниці j-го виду продукції, дорівнює

Тоді двоїста задача формулюється: знайти , що задовольняє

(7)

і що доставляє

(8)

Перемінні називаються обліковими оцінками чи неявними цінами.

Для того, щоб знайти оптимальні плани двоїстих задач, визначимо взаємозв'язок змінних двоїстих задач і економічний зміст їх додаткових змінних. Для вихідної задачі i-а додаткова змінна

, (9)

залишок i-го ресурсу, , для опорного плану вихідної задачі, - i-а перемінна двоїстої задачі означає ціну за одиницю цього ресурсу.

Для двоїстої задачі j-а додаткова змінна

(10)

різниця між сумарною вартістю витрат усіх ресурсів y_m+1 на одиницю j-го виду продукції та вартості за одиницю цієї продукції. Тому (j=1,…,n) можна трактувати як характеристику рентабельності випуску j-го виду продукції. Якщо y_m+j>0 випуск не рентабельний (витрати більші за ціну), якщо y_m+j=0 випуск j-го виду продукції рентабельний. У силу за вищевикладеним основним змінній однієї задачі відповідають додаткові змінні інший, тобто

(11)

Xn+i Yi ,

Ym+i Xi .

Причому для оптимальних планів цих задач випливає, що

(12

(13)

З огляду на те, що всі змінні ненегативні з (12) і (13) для оптимальних планів виконується:

X⁰_n+i=0 y⁰_i>0 чи X⁰n+i>0 Y⁰_i=0 ;

Y⁰m+j=0 X⁰_j>0 чи Y⁰m+j>0 X⁰_j=0 . (14)

З (14) для оптимальних планів двоїстих задач випливає:

1) якщо i-ий ресурс цілком використовується (X⁰n+i=0) , те його ціна Y⁰i>0, якщо немає (X⁰n+i>0) , те його ціна y⁰_i=0, (j=1,…,m);

2) якщо витрати на випуск одиниці j-го виду продукції більше її ціни, Y⁰m+j>0, то ця продукція не випускається X⁰_j=0, якщо Y⁰m+j=0, то випуск j-го виду продукції рентабельний і X⁰_j>0, (j=1,…,n).

Завдання до теми

1. Побудувати модель вихідної та двоїстої задач, знайти оптимальні плани x⁰ і y⁰.

2. Дати економічне тлумачення основних і додаткових змінних вихідної та двоїстої задач.

3. Проаналізувати доцільне розширення асортименту продукції за рахунок включення нової продукції.

4. Установити діапазони зміни вихідних даних за ресурсами і ціною од. продукції, за яких структура оптимального плану не змінюється.

Контрольні питання

1. Двоїсті задачі лінійного програмування.

2. Економічна інтерпретація двоїстих задач.

3. Види двоїстих задач.

4.Зв’язок основних і додаткових змінних двоїстих задач.

5. Зв’язок оптимальних розв’язків двоїстих задач ,теореми подвійності.

6.Економічний аналіз отриманого оптимального розв’язку задачі розподілу ресурсів за допомогою теорії двоїстих задач лінійного програмування.

Література: [1, с. 77–99; 4, с. 85– 102; 7, с. 5– 33].

Практичне заняття №4-5

Тема. Розв´язання транспортної задачі з економічним аналізом отриманих результатів

Мета: навчитися методам розв´язання транспортної задачі і проведення економічного аналіза отриманих результатів.

Короткі теоретичні відомості

Математична модель транспортної задачі.

Нехай x_ij це об'єм продукції що перевозиться з i-го пункту виробництва А_i до j-й пункту споживання B_j,а с_ij витрати на перевезення одиниці продукції з i-го пункту виробництва А_i до j-й пункту споживання B_j.Тоді функцією мети L буде функція сумарних витрат на перевезення всієї продукції

(15)

Обмеження:

Транспортна задача є збалансованою, якщо сумарний попит дорівнює сумарній пропозиції,

(16)

ai – загальний об'єм виробництва на і-му пункті виробництва А_i,

bj – загальний об'єм споживання j-го пункту споживання B_j,

(17)

, ,

x_ij≥0.

Метод північно- західного кута, суть методу:

заповнення клітинок таблиці транспортної задачі починають з лівого верхнього кутка за принципом:

х_ij=min(a_i,b_j).

Метод мінімального елемента, суть методу: продукт розподіляється, в першу, чергу в клітинці з найменшими тарифами. Принцип розподілу той самий, що й у методі північно- західного кута, вибирається min(a_i,b_j) =х_ij. Метод мінімального елемента дає план перевезень з меншою функцією мета, ніж метод північно-західного кута, але не завжди.

Завдання до теми

1. Постановка транспортної задачі.

2. Методи визначення початкових опорних планів: північно-західного кута, мінімального елемента.

3. Знаходження оптимального рішення транспортної задачі методом потенціалов.

4. Економічний аналіз отриманого оптимального рішення транспортної задачі.

Контрольні питання

1. Постановка транспортної задачі (Т.3.).

2. Математична модель Т.3..

3. Умова збалансованості Т.3..

4. Зв'язок Т.3. із задачею лінійного програмування (3.Л.П.).

5. Визначення розв’язання (плану) Т.3..

6. Умова можливості розв'язання Т.3..

7. Визначення опорного плану Т.3..

8. Виродженість і невиродженість опорного плану.

9. Зв'язок виродженості й невиродженості опорного плану Т.3. із заповнюванням таблиці Т.3..

10. Визначення циклу в таблиці Т.3..

11. Зв'язок опорного плану Т.3. з циклічністю.

12. Метод північно-західного кута для визначення початкового опорного плану.

13. Метод мінімального елемента.

14. Метод Фогеля.

15. Суть методу потенціалів.

16. Вимоги до опорності плану при застосуванні методу потенціалів.

Література: [1, с. 102–138; 4, с. 117– 139; 8, с. 5– 35].

Практичне заняття №6

Тема. Розв´язання задачі про призначення

Мета: навчитися розв´язувати задачу про призначення та проводити економічний аналіз отриманих результатів.

Короткі теоретичні відомості

Математична модель задачі про призначення має вигляд:

Функція мети min (max)

Система граничних умов: (18)

3. , якщо i - й ресурс призначений на виконання j - й роботи; 0 - інакше.

Для розв`язку задачі про призначення застосовується угорський метод.

Незалежним нулем будемо називати єдиний вибраний нуль у рядку та стовпці матриці витрат С, на перетині яких він знаходиться. Якщо, крім вибраного незалежного нуля, в рядку або стовпці присутні ще нулі, то їх далі необхідно вважати залежними. Незалежний нуль на місці (i, j) є призначенням і – го завдання на виконання j-м ресурсом.

Фактично наведений метод розв`язку зводиться до перетворень рядків і стовпців за допомогою деяких констант доти, поки достатнє число коефіцієнтів Cij не обернеться на нуль, що дасть шуканий результат.

Завдання до теми

1. Постановка задачі про призначення.

2. Отримання начального рішення задачі про призначення угорським методом шляхом занульовання матриці витрат С.

3. В випадку не оптимальності отриманого рішення перехід угорським методом до другого рішення.

4. Економічний аналіз отриманого оптимального рішення задачі про призначення.

Контрольні питання

1. Постановка задачі про призначення.

2. Математична модель задачі про призначення.

3. Задача про призначення як різновид Т.3. зі своєю специфікою.

4. Розв’зання (план) задачі про призначення.

5. Теорема 1 про мінімізацію функціонала.

6. Теорема 2 (Фробеніуса).

7. Застосування теорем 1 і 2 для занулення матриці С.

8. Визначення «незалежного» нуля в матриці С.

9. Зв'язок “незалежних” нулів з оптимальністю плану задачі про призначення.

10. Суть угорського методу при розв’язанні задачі про призначення.

11. Якщо при розв’язанні задачі про призначення угорським методом не отриманий оптимальний план, яким буде подальше розв’язання задачі?

Література: [1, с. 143–156; 4, с. 146– 171; 8, с. 5– 35].

Практичне заняття №7

Тема. Розв´язання задачі цілочислового програмування

Мета: навчитися розв´язувати задачі цілочислового програмування методом Гоморі.

Короткі теоретичні відомості

Загальний вигляд задачі цілочислового програмування (З.Ц.П.):

; (19)

(20)

Сутність методу відсікання: спочатку З.Ц.П. зважується симплексом-методом без урахування умов цілочисловості. Якщо оптимальний план відповідної З.Л.П. цілочисловий, то задача розв’язана; у протилежному випадку до обмежень З.Ц.П. додається нове обмеження, що володіє наступними властивостями:

1. воно повинне бути лінійним;

2. воно повинне відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план З.Л.П.;

3. воно не повиннео відтинати жодного цілочисловий плану.

Додаткове обмеження, що володіє зазначеними раніше трьома властивостями, називається правильним відсіканням.

Потім задача зважується з урахуванням нового обмеження, що вноситься додатковим рядком в останню симплекс-таблицю з оптимальним планом З.Л.П. У випадку потреби додаємо ще одне обмеження і розв’язуємо З.Л.П. симплексом-методом доти, поки не одержимо цілочислове розв’язання.

Таким методом,заснованому на правильному відсіканні,є метод Гомори.

Завдання до теми

1. Постановка задачі цілочислового програмування.

2. Розв´язок відповідної задачі лінійного програмування (З.Л.П.) симплекс-методом.

3. Розв´язок відповідної задачі з додатковим рядком в останній симплекс-таблици з оптимальним планом З.Л.П..

4. Висновок.

Контрольні питання

1. Постановка задачі цілочислового програмування (З.Ц.П.).

2. Математична модель З.Ц.П..

3. Зв'язок розв’язання З.Ц.П. з розв’язанням З.Л.П..

4. Способи розв’язання З.Ц.П..

5. Розв’язання З.Ц.П. методами «відсікання», поняття «правильного» відсікання.

6. Геометрична ілюстрація методу «відсікання».

7. Метод Гоморі, побудова «правильного» відсікання.

8. Алгоритм методу Гоморі.

Література: [1, с. 163–187; 4, с. 175– 193; 8, с. 28– 35].