ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Задача 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ И ОШИБОК ВЫБОРКИ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ ОТБОРЕ

Необходимо из задания варианта взять 10 чисел по изучаемому признаку. И провести расчет по задачи № 1.

Имеется совокупность хозяйств населения сельского округа общей численностью 440, а также список владельцев этих хозяйств, составленный в алфавитном порядке.

Определить объем молока, реализованного населением округа по всем каналам в июне.

Методические указания. Решать задачу рекомендуется в определенной последовательности.

1. Вначале необходимо уяснить способ проведения статистического наблюдения. Поскольку объем реализуемого каждым хозяйством по всем каналам молока документально не фиксируется, сведения можно получить путем опроса владельцев хозяйств. Для проведения опроса всех 440 хозяйств потребуется много времени и средств, поэтому целесообразно осуществить наблюдение, которое позволит по специально отобранным единицам (выборочная совокупность) получить статистические показатели по всем хозяйствам (генеральная совокупность).

По выборочной совокупности можно получить представление о среднем значении признака в генеральной совокупности и его дисперсии σ₀², для чего необходимо определить выборочную среднюю и дисперсию σ. В свою очередь, чтобы выборочная средняя была типичной и устойчивой, численность единиц должна быть достаточно большой. В теории и практике считается, что большой выборкой является такая, в которой число единиц наблюдения составляет 30 и более. Примем в нашем случае, что выборкой будет охвачено 10%, или 0,1 части всех хозяйств, тогда численность выборки составит N = 440·0,1 = 44 хозяйства.

2. Далее необходимо решить вопрос о способе формирования выборочной совокупности. Как известно из теории, важнейшим требованием научно организованной выборки наряду с достаточной численностью единиц является соблюдение принципа равновозможности для каждой единицы генеральной совокупности попасть в выборку. Это требование выполняется путем применения различных способов отбора единиц: случайного (повторного и бесповторного), механического, типического, серийного. При всех способах отбора должен соблюдаться принцип случайности, что делает возможным в последующем расчет случайных ошибок выборки.

Поскольку имеется список всех хозяйств, то отбор будет проводиться на основе этого списка. При этом возможны два способа отбора случайный или механический. Так как список составлен в алфавитном порядке и расположение хозяйств в нем не связано с изучаемым признаком (объем продажи молока), целесообразно проведение механического отбора. Он заключается в отборе единиц из случайно расположенной генеральной совокупности в определенной последовательности: принятый объем выборки n = 44 хозяйства, или 10% от генеральной совокупности N = 440, предполагает отбор каждого 10-го хозяйства. Обычно первой берется единица, находящаяся в середине интервала из 10 хозяйств, а последующие отбираются через интервал. Возьмем первым 5-е хозяйство, затем 15-е, 25-е и т. д., а последним 435-е. Результаты опроса взятых в выборку хозяйств заносим в таблицу 1.

На основании полученных значений изучаемого признака х, зафиксированного при опросе с точностью до 10 кг, рассчитываются параметры выборочной совокупности.

1. Данные выборочного обследования хозяйств сельского округа

№ хозяйства по алфавитному списку	Объем реализованного молока за июнь, кг	№ хозяйства по алфавитному списку	Объем реализованного молока за июнь, кг
5	210	225	0
15	230	235	280
25	300	245	290
35	0	255	300
45	0	265	310
55	310	275	290
65	240	285	320
75	250	295	0
85	0	305	280
95	310	315	370
105	270	325	410
115		335	200
125	280	345	0
135	0	355	260
145	400	365	250
155	0	375	0
165	290	385	300
175	310	395	340
185	350	405	280
195	360	415	270
205	290	425	0
215	0	435	290

Среднее количество реализованного молока на одно хозяйство . Вначале подсчитаем общий объем реализованного молока , а затем среднюю на одно хозяйство.

Определим дисперсию количества реализованного молока S² и среднее квадратическое отклонение S. При этом надо иметь в виду особенность расчета дисперсии по выборочным данным, которая определяется с учетом числа степеней свободы n-1. Дисперсия более удобной для расчетов является формула , но более удобной для расчетов является формула . Для нее определим накопленную сумму квадратов признака . Тогда , а на одно хозяйство.

3. Колеблемость объема продажи молока по хозяйствам очень большая в среднем ± 135 кг, поэтому при случайном отборе единиц полученная средняя = 220 кг может иметь большую ошибку, и непосредственное распространение выборочной средней ( =220 кг) на генеральную совокупность будет сильно искажать реальное положение. Чтобы исключить искажение, следует определить случайные ошибки выборки. Величину конкретной ошибки выборки как разности между выборочной и искомой генеральной средней определить невозможно. Но можно определить среднюю ошибку выборочной средней , представляющую по своему содержанию среднюю из всех возможных по воле случая конкретных ошибок. Ее величина зависит от степени колеблемости признака σ₀² в генеральной совокупности и численности выборки n, но практически она может быть определена по параметрам выборочной совокупности S² и п. При механическом отборе расчет ведется по формуле случайного бесповторного отбора

Таким образом, средняя ошибка выборочной средней ± 19 кг на одно хозяйство.

Далее необходимо рассчитать предельную (максимально возможную) ошибку выборочной средней Е_пред. Её расчет основан на распределении всех возможных по воле случая выборочных средних и их конкретных ошибок, описываемом математически законом нормального распределения. По этому закону разность между генеральной и выборочной средней функционально связана с вероятностью ее осуществления. Так, при больших выборках конкретные ошибки, не превышающие ±l , имеются в 68 % случаев, не превышающие ±2/%, в 95 % и т. д. Отношение конкретной ошибки к средней нормированное отклонение t имеется в таблицах для разных уровней вероятностей Р (см. приложение 1). Для расчета предельной ошибки E_пред = t вначале необходимо выбрать уровень доверительной вероятности Р, а затем определить по таблице величину t. В практике наиболее часто применяются уровни вероятности Р = 0,95 и Р = 0,99 (доверительные), реже Р=0,90, для которых значения нормированного отклонения составляют соответственно 1,96; 2,58; 1,65.

Примем вероятность Р 0,95 и рассчитаем ошибку E_0,95 = t =1,96·19=37кг. Эта величина показывает, что 95 % всех возможных по воле случая выборок будут иметь конкретные ошибки не более ± 37 кг, а остальные 5 % более 37 кг. Если принять, что наша выборка относится к 95 % всех возможных, то можно утверждать, что ошибка выборочной средней х=220кг не превышает ± 37 кг. При этом остается риск, равный 5 %, что ошибка больше 37 кг.

4. Для определения среднего показателя продажи молока во всей (генеральной) совокупности в выборочную среднюю необходимо внести поправку на возможную предельную ошибку выборки, тогда или от 183 до 257 кг на одно хозяйство.

Для определения абсолютного показателя реализации молока всеми хозяйствами сельского округа W среднюю величину умножают на общий объем совокупности N. Тогда , или от 80520 до 113080 кг. Пределы, в которых находятся характеристики генеральной совокупности, называются доверительными. В итоге с вероятностью 95 % и риском ошибки 5 % можно утверждать, что все хозяйства сельского округа реализовали в июне не меньше 80520 кг молока и не больше 113080 кг.

Предельную ошибку и доверительные пределы реализации молока при вероятности ошибки I % и 10 % предлагаем определить самостоятельно.

Задача 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ ДОЛИ ХОЗЯЙСТВ НАСЕЛЕНИЯ, ПРОДАВАВШИХ МОЛОКО, И ОШИБОК ЭТОЙ ДОЛИ

Провести расчет по данным задачи №2.

Методические указания. На основе имеющейся в задаче 1 данной темы информации можно установить не только средний объем проданной продукции, но и, что не менее важно, долю хозяйств, продававших эту продукцию в сельском округе (во всей генеральной совокупности). С этой целью установим вначале долю хозяйств, продававших молоко:

общее число обследованных хозяйств 44;

число хозяйств, продававших молоко, 33;

доля хозяйств, продававших молоко, р=33/44=0,75.

Рассчитанная доля содержит среднюю ошибку, которая в случае механического отбора,

как известно, устанавливается по формуле

где q доля хозяйств, не продававших молоко, равная 1 – р.

В свою очередь, зная среднюю ошибку, можно определить предельную ошибку, воспользовавшись алгоритмом, описанным в задаче 1 данной темы. Например, с уровнем доверия P=0,95 предельная ошибка для выборочной доли составит:

Следовательно, в сельском округе доля хозяйств, продававших молоко, с вероятностью Р = 0,95 находится в интервале Р=0,75 ± 0,1214, то есть не ниже 0,63 и не более 0,87 всех хозяйств.

Задача 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ

Провести расчет по данным задачи №3.

Методические указания. Проблема определения необходимого объема выборки возникает в том случае, когда отсутствует опыт использования выборочного наблюдения за данным объектом, а следовательно, нельзя сразу установить приемлемый с точки зрения ошибок ее объем, а также в случае, если осуществленная выборка дала слишком большие ошибки, для уменьшения которых необходимо увеличение ее размера. В любом случае определение необходимого объема выборки предполагает предварительное установление размера предельной ошибки. Затем на основе формул расчета предельной ошибки (задача 1) размер выборки установить достаточно просто. Сложной проблемой является установление Величины выборочной дисперсии. Если данный объект уже подвергался выборочному наблюдению, выборочная дисперсия заимствуется из опыта наблюдения; если же объект подвергается выборочному обследованию впервые, для установления выборочной дисперсии используется экспресс-оценка. При оценке дисперсии доли признака берется ее максимальное значение pg = 0,5•0,5 = 0,25. В задаче 1 величина предельной ошибки превышает 15 % выборочной средней, что вряд ли может устроить проводящего наблюдение. Поставим вопрос: «Какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка не превышала 10 %?» В натуральных единицах это составит: . Для расчета необходимой численности выборки, обеспечивающей появление ошибки не более 22 кг, воспользуемся соотношением

Отсюда . Дисперсию по выборочной совокупности, установленную в задаче 1, правомерно использовать и в этой задаче. Тогда

Как видно из расчетов, для обеспечения ошибки, не превышающей 10 %, потребуется чуть менее 1/4 наблюдений от генеральной совокупности.