Завдання 2
Перевірити на міцність стальний стержень АВ (схеми рис. 1.7). Діаметр поперечного перерізу стержня d=2см, [σ]=160МПа. Дані взяті з табл. 1.2
Таблиця 1.2
-
Схема
а,м
в,м
α,град
F,кН
0
2
4
30
50
І
1
2
45
20
ІІ
4
2
50
30
ІІІ
3
2
60
60
ІV
4
1
30
50
V
1
3
45
45
VІ
2
6
30
20
VІІ
3
1
60
30
VІІІ
5
2
45
80
ІX
2
4
60
40
Рис. 1.7
Приклад розв’язання (див. схему на рис. 1.8)
Так як кінці стержня закріплені шарнірно, зусилля в стержні діють по його вісі, тобто стержень працює на розтяг або на стиск. Насправді, вся конструкція, а значить, і стержень АВ, знаходиться в рівновазі. Подумки виділимо стержень і розглянемо шарніри на його кінцях.
Рис. 1.8
Оскільки по довжині стержня навантаження до нього не прикладені, сили діють на стержень тільки в шарнірах. Якби вони діяли довільно, наприклад, як показано на рис. 1.9,а, стержень не міг би знаходитись в стані рівноваги. Він може знаходитись в рівновазі тільки в тому випадку, якщо в шарнірах на нього передаються дві рівні протилежно напрямлені сили (рис. 1.9,б), які діють по осі і викликають розтяг або стиск.
а б
Рис. 1.9
Для вирішення задачі потрібно спочатку знайти повздовжнє зусилля в стержні, а потім перевірити чи задовольняється умова міцності при розтягу (стиску):
Для
знаходження сил, що діють на стержень,
розглянемо рівновагу бруса, який
підтримує стержень. Відкинемо опори і
замінимо їх дію реакціями, що прикладені
до бруса. В лівій шарнірно-неподвижній
опорі, як відомо виникає дві реакції
і
(фізично тут діє реакція під невідомим
кутом, але її завжди можемо розкласти
на дві складові. Це зручно, оскільки
виключає з рішення задачі тригонометричні
функції вказаного кута). Як було вказано
раніше, реакція стержня, що прикладена
до бруса в т.
А, повинна
бути напрямлена по осі стержня, тобто
під кутом
.
Брус знаходиться в рівновазі під дією
4
сил (рис. 1.10), з яких 3
невідомі.
Для плоскої урівноваженої системи сил
повинні задовольнятись 3 незалежні
рівняння рівноваги.
Рис. 1.10
Тому
задача знаходження реакцій, що діють
на брус, може бути вирішена. Однак в
даному випадку нас цікавлять не всі
реакції, які прикладені до бруса, а
тільки реакція стержня. Для її визначення
немає необхідності вирішувати систему
3 рівнянь з трьома невідомими. Достатньо
скласти і прирівняти до 0
суму моментів всіх сил відносно т.0.
Реакції
моменту відносно цієї точки не дають і
в рівняння не ввійдуть. В рівнянні
залишається тільки одна невідома
.
;
Звідси:
Реакція опинилась додатною, це означає, що стержень діє на брус саме так, як показано на рис. 1.10,а, тобто стержень АВ розтягнутий (рис. 1.10,б). По закону Ньютона дія стержня на брус дорівнює за значенням і протилежне за напрямком дії бруса на стержень, показане на рис. 1.10,б. Отже, в стержні діє повздовжнє розтягуюче зусилля.
Залишається перевірити чи виконується умова міцності:
.
Отже, стержень АВ задовольняє умову міцності.