5. Задача № 5. Кручення стержнів змінного перерізу

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Всі теоретичні відомості, наведені при вирішенні задачі №4, залишаються незмінними і для поточної задачі. Певні відмінності, які мають бути враховані, пов’язані з наявністю по довжині бруса ділянок змінного перерізу, а саме кільцевого. Епюра крутильних моментів будується, незважаючи на це, а визначення найнебезпечніших перерізів необхідно проводити для кожного типу перерізу в брусі. Звичайно, що і при побудові епюри кутів повороту перерізів через різні полярні моменти інерції теж враховується цей факт.

Для кожного -го типу перерізу визначається свій полярний момент опору . Наприклад, для кола він визначається за формулою (4.2), для кільцевого перерізу за умов відомого співвідношення між зовнішнім діаметром і внутрішнім ( в цьому випадку в точках на контурі перерізу, розташованих на відстані від полюса перерізу, дотичні напруження будуть найбільші) полярний момент опору з урахуванням має вираз

.

(5.1)

В потенційно небезпечних перерізах (для кожного -го типу) за формулою, аналогічною (4.1), мають визначатися максимальні напруження

. (5.2)

За цим співвідношенням або робиться перевірка умов міцності бруса, або здійснюється підбір відповідного перерізу.

Кути повороту визначаються за формулою (4.4) з урахуванням відповідного полярного моменту інерції для перерізу -го типу.

5.1. Завдання до задачі № 5

До сталевого валу прикладені моменти , .

Побудувати епюру крутильних моментів . З умови міцності потрібно визначити діаметри валу та , якщо їхнє співвідношення дорівнює . Побудувати епюру кутів закручування , визначити кут закручування вільного кінця валу. Допустимі дотичні напруження при крученні для матеріалу вала = 100 МПа, модуль пружності другого роду (при зсуві) = 0,810⁵ МПа. Довжина ділянок вала вказана в метрах.

№	№ схеми	,кНм	,кНм
1	1	2,0	6,5	1,20
2	2	2,5	6,0	1,25
3	3	3,0	5,5	1,30
4	4	3,5	5,0	1,35
5	5	4,0	4,5	1,40
6	6	4,5	4,0	1,45
7	7	5,0	3,5	1,50
8	8	5,5	3,0	1,55
9	9	6,0	2,5	1,60
0	10	6,5	2,0	1,65
	Е	Д	Г	Е

5.2. Приклад виконання завдання

РОЗВЯЗАННЯ

При побудові епюри крутильних моментів (рух справа наліво) користуємось правилами знаків. Рух вздовж стержня починаємо від вільного кінця до жорсткого закладення. По кожній ділянці визначаємо за допомогою методу перерізів. Внутрішній момент спрямовуємо таким чином (відповідно до Рис. 4.1,б), щоб одразу було зрозуміло його знак. Якщо за умов рівноваги при обраному напрямі в перерізі отримує певний знак «+» або «», саме такий знак буде на епюрі.

Числові дані: 6,50 кНм, 6,50 кНм, 1,65.

Ділянка	Ділянка

Ділянка : кНм (зовнішній момент відсутній);

Ділянка : За умов рівноваги , тому кНм;

Ділянка

Ділянка : За умов рівноваги , кНм;

Ділянка : За умов рівноваги , кНм.

Ділянка

Максимальний крутильний момент (за абсолютною величиною) визначається з побудованої епюри для кожного з видів перерізів:

для суцільного вала кНм;

для вала кільцевого перерізу кНм.

За умов міцності  тому , полярний момент опору суцільного перерізу , з урахуванням цього отримаємо діаметр сталевого валу:

м;

полярний момент опору кільцевого перерізу , з урахуванням цього отримаємо діаметр сталевого валу:

м.

Внаслідок того, що величина є визначальною для обох типів перерізів, з двох отриманих значень діаметра беремо найбільше. Отримане значення округляємо до м.

Полярний момент опору суцільного перерізу (з індексом 1) визначається: м⁴. Полярний момент опору кільцевого перерізу (з індексом 2) визначається: м⁴.

Кути закручування кожної -ої з чотирьох ділянок (нумерація зліва направо) визначаємо за формулою , ( або залежно від типу перерізу), враховуючи вигляд перерізу, тому запишемо:

рад,

рад,

(кут повороту переріза, що відповідає лівій границі другої ділянки відносно першої, відносно нерухомого перерізу кут дорівнює );

рад,

(кут повороту переріза, що відповідає лівій границі третьої ділянки відносно другої, відносно нерухомого перерізу кут дорівнює );

рад,

(кут повороту переріза, що відповідає лівій границі четвертої ділянки відносно третьої, відносно нерухомого перерізу кут дорівнює );

За визначеними кутами будуємо епюру з нерухомим перерізом в жорсткому закладенні. Кут закручування вільного кінця валу дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування кожної з ділянок рад.