2.19. Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек при плоскопараллельном движении твердого тела основан на понятии мгновенного центра скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться в том, что если тело движется не поступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и притом единственная.

Пусть заданы скорости V_A и V_B двух точек А и В тела. Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров к соответствующим векторам V_A и V_B будет мгновенным центром скоростей, так как V_Р = 0 (рис. 2.32).

Т

Рис. 2.32

аким образом, в каждый момент времени плоскопараллельное движение твердого тела можно представить как вращательное относительно оси, проходящей через МЦС. Исходя из этого, имеем:

V_A = ω·AP; V_{A ┴} AP; V_B = ω·BP; V_{B ┴} BP.

Отсюда следует V_A/AP = V_B/BP = ω, т. е. скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направление скоростей V_A и V_B каких-нибудь двух точек А и В тела (или траектории этих точек). МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям);

2. для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда, восстановив из точек А и В перпендикуляры к V_A и V_B, определим МЦС (точку Р) и по направлению V_A найдем направление поворота тела. После того, зная V_A, найдем скорость V_В любой точки тела. Направлен вектор V_В перпендикулярно ВР (V_{В ┴} ВР) в сторону поворота тела;

3. угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей: ω = V_A/АР = V_В/ВР = V_С/СР = ….

2.20. Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

С

V_A

лучай 1

П

Рис. 2.33

усть известен вектор скорости V_A точки А и линия действия вектора скорости точки В (рис. 2.33). Восстановив перпендикуляры к скоростям в точках А и В, определим положение МЦС (точка Р) и направление вращения тела. Тогда: V_A = ω·АР; ω = V_A/АР; V_В = ω·ВР; V_С = ω·СР; V_{A ┴} АР; V_{В ┴} ВР; V_{С ┴} СР.

В

Рис. 2.33

V_A

такой последовательности можно определить скорость любой точки твердого тела.

Н

Случай 2 Случай 3 Случай 4

Рис. 2.34

Рис. 2.35

Рис. 2.36

а рис. 2.34 – 2.36 представлены другие случаи графического определения МЦС.

Порядок определения МЦС для случаев 2, 3, 4 не требует особых комментариев. Все формулы, полученные для первого случая, остаются справедливыми и для остальных случаев.

Р

Рис. 2.37

ассматривается особый случай плоскопараллельного движения, при котором скорости точек V_A и V_В параллельны (рис. 2.37).

Если скорости точек А и В параллельны, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР= ; ВР= и т. д.). Очевидно, что в этом случае ω=V_A/AP=V_A/ = 0. Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени геометрически равны: V_A=V_B=V_C=…

Следует отметить, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех ее точек в каждый момент времени также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности. Если условие V_A = V_B = V_C = …остается справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же V_A = V_B = V_C только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя. В этом случае говорят, что движение тела является мгновенно поступательным. При мгновенно поступательном движении происходит смена направлений вращения, при этом угловая скорость ω = 0, а угловое ускорение ε ≠ 0 (рис. 2.38).

Г

Рис. 2.38

Рис. 2.38

рафик зависимости ω=f(t) разбит на две зоны. В зоне I тело вращается по ходу часовой стрелки, а в зоне II – против хода часовой стрелки. При мгновенно поступательном движении ω = 0, ε = tgβ ≠ 0.