Типовой расчёт по разделу «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» Вариант № 1.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 5. Найти градиент функции в точке .

Задание 6. Дано: а) функция z=(x,y); б) точки , . Требуется:

1) линеаризовать функцию в окрестности точки ;

2) составить уравнение касательной плоскости и нормали к по­верхности z=(x,y) в точке .

а) ; б) , .

Задание 7. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .

Задание 8. Исследовать функцию на экстремумы.

Задание 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Задание 10. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице.

x	1	2	3	4	5
y	4,3	5,3	3,8	1,8	2,3

Построить по методу наименьших квадратов прямую для данной системы точек. Найти среднее квадратическое отклонение полученной прямой от системы данных точек.

Вариант № 2.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 5. Найти градиент функции в точке .

Задание 6. Дано: а) функция z=(x,y); б) точки , . Требуется:

1) Линеаризовать функцию в окрестности точки ;

2) составить уравнение касательной плоскости и нормали к по­верхности z=(x,y) в точке .

а) ; б) , .

Задание 7. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .

Задание 8. Исследовать функцию на экстремумы.

Задание 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Задание 10. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице.

x	1	2	3	4	5
y	4,5	5,5	4,0	2,0	2,5

Построить по методу наименьших квадратов прямую для данной системы точек. Найти среднее квадратическое отклонение полученной прямой от системы данных точек.

Вариант № 3.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 5. Найти градиент функции в точке .

Задание 6. Дано: а) функция z=(x,y); б) точки , . Требуется: