4 Динамика

130. Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с учетом действующих на них сил (в связи с механическим взаимодействием их с другими телами).

Основные аксиомы динамики

Основу динамики составляют законы классической механики Галилея - Ньютона (так называемые аксиомы динамики): закон инерции, закон пропорциональности силы и ускорения, закон равенства действия и противодействия, закон независимости действия сил.

131. Закон инерции - материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

132. Инерция (инерционность) - свойство материальных тел, заключающееся в стремлении их сохранять неизменной скорость своего движения (или состояние покоя), т.е. сохранять данное кинематическое состояние.

133. Мерой инерции материальных тел являются: масса (при поступательном движении); момент инерции (при вращении). Масса - количество материи данного вида в данной точке (в данном объеме).

134. Момент инерции точки - величина, равная произведению массы точки на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси (центра) вращения,

, кг  м².

Масса определяет инерционность тела только при поступательном движении, так как в этом случае скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени геометрически равны. При вращении вокруг оси инерционность тела определяется не только массой тела, но и тем как масса распределена окрест оси вращения. Чем компактнее (ближе к оси) распределена масса тела, тем меньше инерционность тела и наоборот. Поэтому при вращении тела вокруг оси его инерционность определяет момент инерции тела. Различают моменты инерции тела относительно: точки (начала декартовой системы координат); оси (координатных осей); плоскости (координатных плоскостей).

135. Момент инерции тела относительно точки (оси, плоскости) - величина, равная предельному значению суммы произведений масс элементарных частиц тела на квадрат их кратчайшего расстояния до точки, (оси, плоскости),

, кг  ^.м².

136. Закон пропорциональности силы и ускорения - ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление, - основное уравнение динамики (рисунок 17).

Рисунок 18 - Движение точки по кривой - а; падение в поле тяжести - б

137. Законы инерции и пропорциональности силы и ускорения справедливы для инерциальных систем отсчета. Инерциальные системы отсчета - системы отсчета неподвижные, связанные с землей или движущиеся прямолинейно и равномерно.

138. Закон равенства действия и противодействия - при взаимодействии двух тел, силы приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Например , где - сила действия на рассматриваемую точку со стороны тела, - сила противодействия телу со стороны точки (сила инерции ), (рисунок 19а), см. также рисунок 18а.

139. Сила инерции материальной точки - сила противодействия телу сообщающему точке ускорение , равная: , где - касательная составляющая силы инерции, пропорциональная касательной составляющей полного ускорения точки; - нормальная составляющая силы инерции, пропорциональная нормальной составляющей полного ускорения , см. рисунок 19а.

Р исунок 19 - Сила действия и сила инерции - а; сложение ускорений - б

140. Закон независимости действия сил - несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение , какое сообщила бы ей одна сила , равная их геометрической сумме , т.е. , где - ускорение точки, сообщаемое точке i-ой силой (рисунок 18б).

Динамика материальной точки

Записав основное уравнение динамики , где в проекциях на оси декартовой и естественной систем координат, см. рисунок 18 и рисунок 12, получим дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых и естественных координатах:

135. 136.

В случае движения несвободной материальной точки по неподвижной шероховатой кривой дифференциальные уравнения в правой части будут содержать проекции на оси систем координат касательной (сила трения) и нормальной составляющих полной реакции этой кривой (твердой шероховатой поверхности), как связи, см. рис. 20б.

В динамике материальной точки решаются (в частности) две так называемые основные задачи: 1-я (прямая);

2-я (обратная).

141. 1-я (прямая) задача динамики точки - задача об определении сил по заданному движению точки.

142. 2-я (обратная) задача динамики точки - задача об определении движения точки по заданным силам.

При решении этих задач исходными являются дифференциальные уравнения движения точки, записанные в общем виде в декартовых или естественных координатах.

Некоторые задачи динамики материальной точки решаются с применением принципа Германа-Эйлера-Даламбера (принцип Даламбера), иначе говоря методом кинетостатики, который формулируется и записывается следующим образом.

Для свободной материальной точки (рисунок 20а).

143. Движущаяся свободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении под действием активных (задаваемых) сил и силы инерции, т.е. - условие псевдопокоя свободной точки под действием сил, сходящихся в точке.

Р исунок 20 - К применению принципа Д`Aламбера для свободной - а; несвободной - б точки

Для несвободной материальной точки (рисунок 20б).

1 44. Движущаяся несвободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении под действием активных сил, реакций связи и силы инерции, т.е. - условие псевдопокоя несвободной точки под действием сил, сходящихся в точке, где , т.о.

При решении задач уравнения (143) и (144) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой (или естественной) систем координат.

Различают две меры действия силы и две меры механического движения (рисунок 21). При этом одна из мер - величина векторная, другая - скалярная.

Р исунок 21 - Меры действия силы и механического движения

145. Импульс силы - вектор , динамический параметр, величина, характеризующая передачу материальной точке механического движения со стороны действующего на нее тела за данный промежуток времени, и учитывающий (в отличие от силы) и интенсивность, и продолжительность механического взаимодействия.

146. Импульс постоянной по величине и направлению силы ( ) равен произведению вектора силы на интервал времени ее действия, , Н·м.

147. Импульс переменной по величине и (или) направлению силы ( ) равен: ,

где и - момент начала и конца действия переменной силы , время действия силы .

148. Работа силы - алгебраическая величина, характеризующая передачу точке (телу) механического движения со стороны действующего на не тела (точки) при перемещении точки (тела) на некотором пути.

149. Работа силы, постоянной по величине и направлению, ( ) на конечном перемещении материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

(рисунок 22а).

Рисунок 22 - К определению работы силы постоянной - а; переменной - б

150. Работа силы, переменной по величине и (или) направлению, ( ) на конечном перемещении материальной точки равна значению криволинейного интеграла взятого от выражения для элементарной работы этой силы на элементарном перемещении точки:

(рисунок 22б), где - элементарный путь, пройденный точкой за элементарный интервал времени; - элементарное приращение дуговой координаты точки; - - орт касательной; - элементарное приращение радиус-вектора точки; - проекции силы на оси декартовой системы координат: - элементарное приращение координат точки; - проекция силы на касательную к траектории в данной точке; .

151. Мощность постоянной силы - отношение элементарного приращения работы силы к элементарному интервалу времени , в течении которого имело место это приращение, т.е. - работа совершаемая в единицу времени:

152. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ ее составляющих на том же перемещении:

.

153. Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях:

.

154. Количество движения материальной точки - вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки на модуль скорости ее движения:

(рисунок 23а).

Р исунок 23- Количество движения точки - а; и момент количества движения - б

155. Производная от вектора количества движения точки по времени равна равнодействующей всех сил, действующих на точку:

.

156. Приращение вектора количества движения точки за конечный интервал времени равно геометрической сумме импульсов всех сил, действующих на точку в течении этого интервала времени:

или

157. Записав уравнение (156) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:

Уравнения (155-157) - разные формы записи теоремы об изменении количества движения материальной точки: дифференциальная векторная, векторная конечная и аналитическая конечная соответственно.

В случае, когда или, например , уравнения (156) и (157) называют законом сохранения количества движения материальной точки в целом ( ) или - в проекции на ось в частности ( ).

158. Момент количества движения материальной точки относительно центра О - вектор , направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения точки и центр в ту сторону, смотря откуда вектор виден направленным против вращения часовой стрелки, и равный: (рисунок 23б).

159. Момент количества движения материальной точки относительно оси - алгебраическая величина, взятая со знаком плюс или минус, и равная произведению модуля проекции вектора количества движения точки на плоскость , перпендикулярную оси , на плечо этой проекции относительно этой оси : (рисунок 23б).

160. Производная от вектора момента количества движения точки относительно центра по времени равна главному моменту всех сил, действующих на точку, относительно этого центра:

.

161. Записав уравнение (160) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:

Уравнения (160) и (161) - теорема об изменении момента количества движения точки, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно,

В случае, когда или, например , уравнения (160) и (161) называются законом сохранения момента количества движения точки относительно центра ( ) или - оси ( ).

162. Приращение кинетической энергии материальной точки при ее движении на некотором пути равно сумме работ всех сил, действующих на точку на этом пути: , где , , - кинетическая энергия точки в конечном и начальном положениях.

163. Кинетическая энергия точки - скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости ее движения: , ( - всегда положительный скаляр).

Динамика твердого тела и механической системы

Все силы, действующие на механическую систему, делятся на внешние и внутренние. Ко внешним силам относятся активные (задаваемые) силы и реакции внешних связей. Ко внутренним силам относят реакции внутренних связей - силы взаимодействия между телами (точками), входящими в рассматриваемую систему тел (точек).

164. Свойство системы внутренних сил - главный момент и главный вектор внутренних сил равны нулю ( , ), так как все внутренние силы, являясь силами действия и противодействия между отдельными телами (точками) системы, попарно равны по модулю и противоположны по направлению.

165. Центр масс системы материальных точек - точка, радиус-вектор которой определяется уравнением: , где и масса и радиус-вектор i-ой точки механической системы (рисунок 24а).

Рисунок 24 - К определению центра масс - а;

возможные перемещения: угловое рычага и линейные его точек и - б

166. Записав уравнение (165) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражения для координат центра масс

, , , см. рисунок 24а.

167. Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка массой равной массе всей системы , к которой приложены все внешние силы , действующие на систему, - теорема о движения центра масс:

- II-ой закон Ньютона (основное уравнение динамики) для центра масс.

Здесь - равнодействующая, соответственно, внешних и внутренних сил, действующих на i -ую материальную точку. - главный вектор всех внешних сил, действующего на систему материальных точек, j - номер j- ой внешней силы.

168. Записав уравнение (167) в проекциях на оси декартовой системы координат получим дифференциальные уравнения движения центра масс:

169. Количество движения системы материальных точек - вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы: где - скорость движения центра масс.

170. Производная от количества движения системы материальных точек по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на все точки этой системы: .

171. Записав уравнение (167) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:

Уравнения (168) и (169) - дифференциальные (векторная и аналитическая) формы записи теоремы об изменении количества движения системы материальных точек (механической системы).

172. В случае, когда или, например , уравнения (168) и (169) называют законом сохранения количества движения системы материальных точек в целом или - в проекции на ось в частности.

173. В векторной конечной форме теорема об изменении количества движения системы материальных точек имеет вид: или

174. Записав уравнение (173) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражение для теоремы об изменении количества движения механической системы в аналитической конечной форме:

175. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно центра - вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы, взятых относительно этого центра:

176. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно оси - алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы, взятых относительно этой оси:

177. Производная от кинетического момента системы материальных точек относительно центра по времени равна равна главному моменту всех внешних сил, действующих на все точки этой системы, относительно того же центра:

178. Записав уравнение (177) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:

Уравнения (177) и (178) - теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно.

179. В случае, когда или, например, , уравнения (177) и (178), называются законом сохранения кинетического момента системы материальных точек относительно центра ( ) или - оси ( ).

180. Кинетическая энергия механической системы - сумма кинетических энергий всех ее частей (точек, тел): .

Формулы для вычисления кинетической энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице.

181. Приращение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на все точки (тела) этой системы, на данном перемещении: , где - кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях.

Формулы для вычисления кинетической энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице.

182. Принцип Даламбера для несвободной механической системы - движущаяся несвободная механическая система может рассматриваться как покоящаяся под действием внешних активных (задаваемых) сил, реакций внешних связей и сил инерции. Условия такого псевдопокоя - равенство нулю суммы главных векторов всех этих сил и суммы главных моментов этих сил относительно любого центра:

183. Аналогично формулируется и записывается принцип Даламбера для свободной механической системы, но естественно без реакций внешних связей и их моментов, т.е.

При решении задач уравнения (182) и (183) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой или естественной системы координат.

184. Абсолютно твердое тело как система материальных точек - неизменяемая система бесконечно большого числа элементарных частиц (материальных точек), бесконечно малое расстояние между которыми всегда неизменно.

185. Масса твердого тела как системы материальных точек - предельное значение суммы масс ее элементарных частиц: О массе и моменте инерции тела (точки), как мерах инерции см. п.126 - 129.

186. Радиус инерции тела - расстояние от оси вращения до точки, в которую должна быть сосредоточенна вся масса m тела, чтобы момент инерции этой материальной точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела относительно этой же оси:

187. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс тела, и параллельной оси , и произведения массы тела на квадрат кратчайшего расстояния между осями: - теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей.

Решение ряда задач динамики механической системы, состоящей из твердых тел, предполагает приведение системы сил инерции, действующих на все частицы каждого тела, к центру масс каждого тела (или другому центру приведения, если это целесообразно).

188. В результате приведения сил инерции к центру, как правило к центру масс, система бесконечно большого числа элементарных сил инерции, действующих на все частицы тела, заменяется, в общем случае, одной силой, равной главному вектору сил инерции и приложенной в центре приведения (например в центре масс), и одной парой сил, с векторным моментом, равным главному моменту сил инерции, взятому относительно выбранного центра приведения:

Аналитически многие задачи динамики, а также и статики механической системы изящно (не взирая на степень их сложности) решаются методами аналитической механики. В аналитической механике исходными понятиями являются: степень свободы, обобщенная координата, возможное перемещение, обобщенная скорость, обобщенная сила.

189. Обобщенные координаты - независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы. Для голономной несвободной механической системы число обобщенных координат равно числу степеней свободы.

Подавляющее число механизмов, используемых в технике, является системами с одной степенью свободы, например: рычаг, лебедка, кривошипно-шатунный механизм, планетарный механизм, тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и т.п. Две степени свободы имеет центробежный регулятор. Три степени свободы имеет: свободная материальная точка; несвободное сферически движущееся тело; тело, совершающее плоское движение. Шесть степеней свободы (наибольшее число степеней свободы) имеет свободное твердое тело в общем случае его движения.

190. Голономная несвободная механическая система - несвободная механическая система, перемещение которой в пространстве ограничено голономными (интегрируемыми) связями.

191. Голономная интегрируемая связь - связь, описываемая уравнениями в конечной форме или интегрируемыми дифференциальными уравнениями.

192. Возможные (виртуальные) перемещения - воображаемые элементарные (линейные или угловые, например: ) перемещения точек тела (тел) механической системы), в действительности допускаемые связями, ограничивающими перемещение тела (тел) в пространстве (рисунок 24б).

Для стационарной (с постоянными по времени связями) механической системы действительные перемещения входят в число ее возможных перемещений, т.е. являются их частными случаями.

193. Идеальная связь - связь, для которой сумма работ реакций этой связи на возможных перемещениях точек их приложения равна нулю: Например, абсолютно гладкая поверхность, шероховатая поверхность в случае качения без скольжения.

194. Абсолютно гладкая поверхность - научная абстракция, модель, которой заменяется реальная шероховатая поверхность, в результате чего не принимается во внимание трение.

В действительности все поверхности трения достаточно шероховаты и трение имеет место даже при наличии смазки поверхностей трения. В связи с этим силу трения - касательную составляющую полной реакции поверхности как связи - переносят в группу активных (задаваемых) сил, делая тем самым связь условно идеальной, что позволяет применять для решения ряда задач принцип возможных перемещений.

Принцип возможных (виртуальных) перемещений

195. В случае покоя (равновесия) несвободной механической системы (общее уравнение статики)

Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними идеальными связями, находящейся в покое (равновесии), сумма работ всех внешних активных (задаваемых) сил на любом возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна нулю:

или

196. В случае движения несвободной механической системы (общее уравнение динамики)

Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними связями в любой момент времени сумма работ всех активных (задаваемых) сил и сил инерции на любом возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна нулю:

или

Для механической системы с одной степенью свободы достаточно записать и решить одно уравнение (195) или (196). Если же система имеет несколько степеней свободы, то уравнение (195) или (196) записывают для каждого независимого перемещения в отдельности. Таким образом, записывается и решается совместно столько уравнений (195) или (196) сколько степеней свободы имеет рассматриваемая механическая система.

197. Колебательное движение материальной точки - движение осуществляемое под действием системы сил, непременно включающей восстанавливающую силу (см. рисунок 25).

II

I

198. Восстанавливающая сила - сила , стремящаяся вернуть материальную точку в положение равновесия (см. рис. 25).

1 99. Возмущающая сила - сила периодически действующая на материальную точку и поддерживающая ее колебательное движение (см. рис. 26).

200. Координата материальной точки (см. рис. 26), совершающей свободные колебания под действием линейно изменяющейся восстанавливающей силы , где - …[H/м] - коэффициент жесткости линейно деформирующейся (периодически растягивающейся и сокращающейся вдоль оси 0х абсцисс ) пружины] изменяется по закону

, [ м ] - уравнение гармонических колебаний материальной точки.

201. Амплитуда свободных колебаний материальной точки - максимальное удаление (отклонение) материальной точки от положения 0 равновесия в крайнее левое В или крайнее правое D положения, где

и - начальная координата и проекции начальной скорости движения материальной точки; , [c^-1] - циклическая частота свободных колебаний материальной точки; - начальная фаза колебаний, .

202. В диапазоне значений угла каждому значению соответствует два значения угла. Поэтому необходимо знать значения и .

203. Период свободных колебаний - интервал времени в течении которого совершается одно колебание, т.е. время, за которое точка возвращается, например, в крайнее правое положение D, или - промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через какое-либо фиксированное положение, например положение 0 равновесия (см. рис. 27)

204. Координата материальной точки (см. рис. 28), совершающей затухающие колебания под действием линейно изменяющиеся восстанавливающей силы при линейном законе сопротивления движению , изменяется по закону , [ м ] - уравнение свободных затухающих колебаний.

205. - ¹ константа (как и величина ) интегрирования дифференциального уравнения затухающих колебаний, -² гипотетическое… максимальное отклонение материальной точки от положения равновесия равное , при с, т.е. в начальные момент времени (см. рис. 28).

206. - частота свободных затухающих колебаний материальной точки, где [c^-1] - коэффициент затухания свободных колебаний материальной точки.

207. , т.к. в диапазоне значений угла (начальной фазы затухающих колебаний) каждому значению соответствует два значения угла, необходимо знать значения и .

208. - период свободных затухающих колебаний - промежуток времени между двумя последовательными прохождениями материальной точки в одном направлении через положение равновесия.

209. Реальная (действительная) амплитуда свободных затухающих колебаний величина переменная … и т.д. см. рис. 30 - наибольшее отклонение в ту или другую сторону от положения равновесия в течении каждого колебания.

210. Последовательные значения переменной - амплитуды затухающих колебаний образуют ряд

211. Отношение последовательных членов и ряда к соответствующим моментам времени и , см. рис. 30 равно:

- отвлеченное число, так называемый декремент затухающих колебаний - const для данного ряда последовательных значений амплитуды (значений параметров затухающих колебаний).

- логарифмический декремент затухающих колебаний.

212. Апериодическое движение материальной точки - движение материальной точки под действием восстанавливающей силы при значительном сопротивлении движению, когда , устраняющем колебательный характер движения.

Уравнение апериодического движения при содержит гиперболический синус аргумента , где и - константы интегрирования дифференциального уравнения затухающих колебаний при , - некоторая константа. В таком случае графики апериодического движения имеют вид:

а) при начальном движении материальной точки в направлении отсчета положительных значений координаты , когда скорость достаточно велика;

б) при начальном движении в направлении отсчета отрицательных значений координаты , когда начальная скорость достаточно велика;

в ) при начальном движении в направлении отсчета отрицательных значений координаты , когда начальная скорость невелика;

213. Уравнение апериодического движения материальной точки при имеет вид:

.

214. Практически наиболее важным является гармонический закон изменения возмущающей силы , см. рисунок 32.

215. Параметры гармонически изменяющейся возмущающей силы:

- амплитуда возмущающей силы наибольшее значение модуля возмущающей силы , [ Н ] ;

- частота изменения возмущающей силы, [ с^-1 ] - число полных циклов изменения возмущающей силы за секунд;

- фаза изменения возмущающей силы, [рад], [  ];

- начальная фаза изменения возмущающей силы, [рад], [  ];

- период изменения возмущающей силы, [ c ].

Например: , , где - модуль центробежной силы, - угловая скорость вращения несбалансированной массы , см. рисунок 32.

216. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний:

, где .

217. Уравнение гармонических вынужденных колебаний малой частоты

где - амплитуда вынужденных гармонических колебаний малой частоты, когда . В этом случае материальная точка отклонена в ту сторону, в которую направлена в данный момент времени возмущающая сила , см. рис. 32.

218. Уравнение гармонических вынужденных колебаний большой частоты

где - амплитуда вынужденных гармонических колебаний большой частоты, когда . В этом случае отклонение материальной точки от положения равновесия всегда противоположно направлению возмущающей силы в данный момент времени.

Таким образом вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления движению - результирующие вынужденные колебания, складывающиеся из свободных колебаний материальной точки под действием восстанавливающей силы и собственно вынужденных колебаний под действием возмущающей силы , т.е. .

219. При - явление резонанса, см. рис. 33.

220. Статистическое отклонение материальной точки от положения равновесия, когда ,

.

221. Коэффициент динамичности равен , при ; ,

при . При и - явление резонанса, см. рис. 33.

2 22. Вынужденные колебания материальной точки при наличии сопротивления движению, см. рис. 34 - результирующие колебания, складывающиеся из затухающих колебаний материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению (или апериодического движения) и собственно вынужденных колебаний материальной точки под действием возмущающей силы .

223. Дифференциальное уравнение таких колебаний и его

решения:

• при незначительном сопротивлении движению, когда

;

- при значительном сопротивлении движению (апериодическое движение), когда

;

- при значительном сопротивлении движению (апериодическое движение), когда

.

224. Амплитуда вынужденных колебаний с учетом сопротивления движению равна:

а) при малых частотах вынужденных колебаний,

;

б) при больших частотах вынужденных колебаний,

225. Сдвиг фазы вынужденных колебаний - угол на который фаза вынужденных колебаний меньше (отстает) от фазы изменения возмущающей силы, - при вынужденных колебаниях малой частоты, когда .

226. Коэффициент динамичности вынужденных колебаний малой частоты с учетом сопротивления движению равен:

.

227. При равенстве (близости) частот свободных и вынужденных колебаний материальной точки, т.е. когда (или ) наступает резонанс - резкий рост амплитуды вынужденных колебаний, см. рис. 35 . Сопротивление движению сдерживает рост амплитуды при наступлении резонанса.

Н а частоте и периоде результирующих вынужденных колебаний сопротивление движению не сказывается, потому

228. - период результирующих вынужденных колебаний, он же период изменения возмущающей силы, т.е. период собственно вынужденных колебаний; где - частота результирующих вынужденных колебаний, она же частота изменения возмущающей силы, т.е. частота собственно вынужденных колебаний.

Графики результирующего вынужденного колебания материальной точки и его составляющих колебаний приведены на рисунке 36.