Задание 6
По известным данным о коэффициентах прямых затрат (аij) и конечном продукте(Y)в межотраслевом балансе для трех отраслей (промышленность, строительство, сфера услуг) определить общий выпуск продукции по каждой отрасли (xij). Исходные данные приведены в таблице 5.1.
Таблица 5.1. Исходные данные д ля межотраслевого баланса
Отрасль-производитель
Отрасль-потребитель |
Коэффициенты прямых затрат |
Конечный продукт, усл. ед. |
||
1 |
2 |
3 |
||
1 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
36 |
2 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
11 |
3 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
8 |
Как известно, матричная форма записи межотраслевого баланса имеет вид
X – AX = Y, (5.1)
где А – матрица коэффициентов прямых затрат;
Y– вектор конечного продукта;
Х – вектор объемов производства.
В натуральном балансе коэффициенты прямых затрат аij означают расход i-той продукции на изготовление единицы j-той продукции.
В стоимостном балансе коэффициенты аij означают затраты i-той отрасли на каждый рубль валовой продукции j-той отрасли.
Помножив вектор Х на единичную матрицу, соотношение (5.1) можно преобразовать как
ЕХ – АХ = Y (5.2)
или
(Е – А)X = Y. (5.3)
При известных значениях коэффициентов прямых затрат соотношение (5.3) можно использовать для анализа и планирования и решить следующие задачи:
определить объемы валовой продукции отраслей X1, X2, …, Xn по заданным объемам конечной продукции по формуле
Х = (Е – А)-1Y; (5.4)
определить объемы конечного продукта отраслей Y1, Y2, … , Yn по заданным объемам валовой продукции X1, X2, …, Xn по формуле
Y = (E – A)X. (5.5)
На основании вышесказанного по данным таблицы 5.1 можно записать следующую систему уравнений:
X1
= 0.1X1
+ 0.3X2
+ 0.2X3
+ 36
X2 = 0.2X1 + 0.2X2 + 0.3X3 + 11
X3 = 0.1X1 + 0.1X2 + 0.47X3 + 8
Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены , получим:
X1 - 0.1X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36
X2 - 0.2X1 - 0.2X2 - 0.3X3 = 11
X3 - 0.1X1 - 0.1X2 - 0.4X3 = 8
Или
0 .9X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36
- 0.2X1 + 0.8X2 - 0.3X3 = 11
- 0.1X1 - 0.1X2 + 0.6X3 = 8
Решение данной системы уравнений осуществляется известными методами линейной алгебры.
Найдем решение этой системы уравнений при помощи функции solve СКМ Maple.
Сеанс работы с Maple:
> sys:={0.9*x1-0.3*x2-0.2*x3=36,-0.2*x1+0.8*x2-0.3*x3=11,-0.1*x1-0.1*x2+0.6*x3=8}; # задание системы
уравнений
> ans:=solve(sys,{x1,x2,x3}); # присвоение переменной ans результатов решения системы
> subs(ans={x1,x2,x3},sys); # подстановка результата в уравнения системы
Таким образом, объемы валовой продукции отраслей X1, X2, X3 составят 60, 40 и 30 усл. ед. соответственно.