- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •I. Теоретическая часть
- •1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
- •2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •3. Нахождение собственных векторов
- •3.1. Случай
- •3.1. Случай
- •4. Задачи для самостоятельного решения
- •II. Лабораторная работа
4. Задачи для самостоятельного решения
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. .
Ответы к задачам 4 – 12:
4. , , .
5. , , .
6. , , .
7. , , , .
8. , , , .
9. , , , .
10. , , , .
11. , , , .
12. ,
, , .
II. Лабораторная работа
> restart:
Зададим матрицу и определим её тип.
> restart:
> with(linalg):
Найдём характеристическую матрицу:
Характеристический многочлен:
Найдём следы двух матриц:
4
Найдём её собственные значения и собственные векторы:
> eigenvalues(B);
> eigenvectors(B);
Здесь 5 – первое собственное значение кратности 1. В фигурных скобках находится соответствующий собственный вектор (2,1). Соответственно -1 – это второе собственное значение кратности 1, соответствующий собственный вектор (-1,1).
Зададим другую матрицу.
Проделайте с ней те же вычисления.
Теперь зададим матрицу 3-го порядка.
>
Разложим характеристический многочлен на множители:
Видно, что корнями являются числа 1 (два раза, т.е. кратность этого корня 2) и 2 (кратностью 1). Найдём собственные значения матрицы М, которые и являются корнями характеристического многочлена. Для этого решим уравнение =0:
Можно задать корни в виде списка:
Найдём собственные векторы матрицы М:
Выведен список l, первым элементом которого является столбец собственных значений, а вторым – матрица, строки которой представляют собой соответствующие собственные векторы. Выделим элементы этого списка.
Теперь выделим строки матрицы:
Задание 1. Проделайте те же действия над матрицей .
ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕОРЕМ 2 И 3
1) Проверим выполнение теоремы 2, т.е. убедимся в том, что сумма собственных значений матрицы М равна её следу, а их произведение равно определителю этой матрицы.
4
2
2) Проверим выполнение теоремы 3 (теоремы Гамильтона-Кэли), т.е. убедимся в том, что квадратная матрица М является корнем своего характеристического многочлена. Подставим матрицу М в многочлен ст.
Для формирования свободного члена зададим единичную матрицу и умножим её на -2.
Найдём квадрат матрицы М:
Теперь найдём куб:
Составим многочлен в точке М и убедимся в том, что он равен нулю (нулевой матрице).
ЗАДАНИЯ.
Найти характеристические матрицы и многочлены следующих матриц:
6) ; 9) ; 12) .
Вычислить их собственные значения и собственные векторы. Проверить выполнение теорем 2 и 3.