![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •I. Теоретическая часть
- •1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
- •2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •3. Нахождение собственных векторов
- •3.1. Случай
- •3.1. Случай
- •4. Задачи для самостоятельного решения
- •II. Лабораторная работа
3. Нахождение собственных векторов
Для нахождения собственных векторов преобразуем равенство (8)
АХ = λХ,
перепишем его в виде
АХ − λХ = 0, или АХ − λЕХ = 0
(А − λЕ)Х = 0. (9)
Здесь 0 – нулевая
матрица. Перейдя к координатной форме,
получим однородную
систему
линейных уравнений. В случае
,
где
– собственные значения, её главный
определитель равен нулю (
).
Поэтому эта система обязательно имеет
ненулевые (нетривиальные) решения, так
как равный нулю определитель имеет
пропорциональные строки, и
:
(10)
Подставляя
поочерёдно значения
,
полученные из характеристического
уравнения, в уравнения системы (10), найдем
n
собственных
векторов. Собственный вектор можно
определить с точностью до постоянного
множителя.
3.1. Случай
Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:
. (11)
Восстановим систему уравнений:
(12)
Это линейная
однородная система. При
и
её главный определитель равен нулю.
Поскольку частные определители содержат
нулевые столбцы, они также равны нулю.
По теореме Крамера эта система имеет
бесчисленное множество решений. Ранг
матрицы А −
λЕ
равен
единице, и одно уравнение пропорционально
другому, т.е. оно является лишним.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
Решение. Составим характеристическое уравнение:
.
Найдём собственные
значения λ, решая уравнение
.
Его корни λ1
= 6, λ2
= –1. Это собственные значения матрицы
А.
Собственные векторы находятся из двух
систем уравнений
и
.
Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.
1) При λ1
= 6 имеем систему
,
которая сводится к уравнению
.
Из уравнения следует:
,
или
.
В качестве собственного вектора,
соответствующего собственному значению
λ1
= 6, можно взять вектор
.
Подойдёт также любой вектор, кратный
Х1,
например,
или
.
2) При λ2
= –1 система имеет вид
,
она приводится к одному уравнению
и
.
Собственный вектор, соответствующий
данному собственному значению λ2
= –1,
(или любой вектор, кратный ему).
Ответ:
,
,
,
.
3.1. Случай
Пример 2.
Найти собственные значения и собственные
векторы линейного преобразования с
матрицей
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
.
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:
;
.
Чтобы решить это
уравнение, поступим следующим образом.
Методом подбора найдём один из корней
уравнения λ1,
которым может быть один из делителей
свободного члена. Нетрудно убедиться
в том, что λ1
= 3 есть корень уравнения. Это значит,
что левая часть уравнения делится без
остатка на разность (λ − 3), т. е.
.
Определим два
других корня из уравнения
.
По теореме Виета получим следующие два
корня: λ2
= 6, λ3
= –2. Для нахождения собственных векторов
нужно решить три системы уравнений,
последовательно подставляя полученные
собственные значения.
1) При λ1 = 3 имеем однородную систему уравнений
или
Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду
~
~
.
Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:
.
Решая эту систему,
находим
.
Положим
,
тогда получим собственный вектор
,
соответствующий собственному значению
λ1=3.
2) При λ2 = 6 имеем систему уравнений
.
Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду
~
~
.
Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:
.
Пусть
,
тогда
,
.
Собственный вектор
.
3) Точно так же
находим собственный вектор
,
соответствующий собственному значению
λ3
= –2.
Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:
,
,
.
Ответ: λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = –2, , , .