5. Расчет температуры воды по глубине водоема

Расчет температуры воды водоемов методом суперпозиции (наложения) предложен А.И.Пеховичем и В.М.Жидких. Этот метод изложен в работе [11] и рекомендациях по термическому расчету водохранилищ [36]. Метод предусматривает использование дифференциального уравнения теплопроводности для непроточного водоема (Лекция №7):

∂t/∂τ = a_т ∂²t/∂z², (5.1)

где a_т = λ_т/(cρ) — коэффициент турбулентной температуропроводности.

Принцип суперпозиции состоит в том, что если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.

Этот принцип строго применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями.

Согласно этому определению, тепловую задачу со сложными краевыми уравнениями можно представить в виде суммы нескольких задач с более простыми условиями и находить решение (температуру) сложной задачи как алгебраическую сумму решений простых задач.

Разложение сложной тепловой задачи на простые должно производиться таким образом, чтобы сумма значений начальной температуры (t₀₁ + t₀₂ + …) и тепловых условий на поверхности воды (Q₁ + Q₂ + …) и на дне (Q_д1 + Q_д2 + …) для слагаемых задач была равна начальной температуре (t₀ = t₀₁ + t₀₂ + …) и тепловым условиям на поверхности (Q_п = Q₁ + Q₂ + …) и на дне (Q_д = Q_д1 + Q_д2 + …) в основной задаче. Коэффициенты температуропроводности a_т, теплопроводности λ_т и теплопередачи α в решаемой и слагаемых задачах должны быть одинаковыми, за исключением случаев, в которых a_т и λ_т меняются во времени.

Из изложенного следует, что для решения сложной тепловой задачи необходимо иметь набор решений простых задач. Авторы метода А.И.Пехович и В.М.Жидких разработали аналитические решения для 19 таких простых задач. Эти решения представлены в виде расчетных графиков в безразмерных координатах и сводной таблицы. Решения 19 задач позволяют рассчитать температуру воды в мелких, глубоких и очень глубоких водохранилищах, как при отсутствии ледяного покрова, так и при его наличии, а также в водохранилищах при их наполнении.

Безразмерные координаты графиков в зависимости от номера задачи (начальных и граничных условий) представлены искомой относительной избыточной температурой:

θ_и1 = (t - t_п)/(t₀ - t_п); θ_и2 = (t - θ₂)/(t₀ - θ₂); θ_и3 = (t - t₀)/(bτ) и т. п., (5.2)

критерием Фурье

Fo = a_тτ/h², (5.3)

критерием Био

Bi = αh/ λ_т (5.4)

и относительной глубиной η = z/h, где t, t₀, t_п и θ₂ — соответственно температура воды в точке, начальная и на поверхности, а также температура воздуха на высоте 2 м; b — коэффициент при линейном задании температуры поверхности воды или воздуха; a_т — коэффициент турбулентной температуропроводности; τ — время; z и h — соответственно переменная и полная глубина водохранилища; α и λ_т — соответственно коэффициенты теплоотдачи и турбулентной теплопроводности.

Рассмотрим метод суперпозиции на примере решения конкретной тепловой задачи, заимствованной из рекомендаций [36].

Требуется найти распределение температуры воды по глубине на конец третьей декады июня в слабопроточном водохранилище глубиной 40 м, если в начальный момент (1 июня) температура воды по глубине одинакова и равна 4°С. Нагрев воды происходит в результате теплообмена с атмосферой, его ход показан на рис.5.1 (схема 1): в течение первой декады (τ₁) тепловой поток постоянен (Q₁ = 150 Вт/м²), в течение двух последующих декад он возрастает, причем во второй декаде (τ₂) со скоростью Q_о = 0,4 Вт/(м²·ч), а в третьей (τ₃)—со скоростью Q_о = 0,3 Вт/(м²·ч). Коэффициенты турбулентной тепло- и температуропроводности воды соответственно равны: λ_т = 1000 Вт/(м·°С) и a_т = 1 м²/ч.

Порядок расчета температуры воды по глубине водоема при названных выше условиях следующий.

Рис.5.1. Разложение теплообмена с атмосферой (1) на составляющие (2, 3, 4) [8]

1 . Согласно принципу суперпозиции, раскладываем тепловой поток, приходящий на поверхность воды, на три составляющие (рис.5.1, схемы 2, 3, 4). Первый поток Q₁ действует в течение всего расчетного периода τ = τ₁ + τ₂ + τ₃ = 30сут = 720ч. Второй поток действует с интенсивностью в течение периода τ₂ + τ₃ = 20сут = 480ч он равен Q₂ = (τ₂ + τ₃) =0,4(τ₂ + τ₃) Вт/м². Третий поток теплоты действует в течение периода τ₃ = 10сут = 240ч. Так как действие второго потока интенсивностью мы распространили и на период τ₃, в то время как в этот период она равна , т.е. ниже, чем во второй декаде, поэтому третий поток следует находить по формуле Q₃ = ( ) τ₃ = - 0,1τ₃ Вт/м² (рис.5.1, схема 4).

И так, решение общей задачи находим в виде суммы решений трех задач — по числу соответствующих потоков (Q₁, Q₂, Q₃).

2. Для каждой из трех задач устанавливаем начальные и граничные условия. В качестве начальных условий для первой задачи принимаем условия основной задачи: t₀ = 4°C. Тогда во второй и третьей задачах, согласно условию разложения сложной задачи на простые, в качестве начальных условий следует принять t₀₂ = t₀₃ = 0°С. В первой задаче в качестве граничного условия на поверхности воды принят источник Q₁ (теплообмен с атмосферой постоянный), во второй — Q₂ (теплообмен с атмосферой возрастает) и в третьей — Q₃ (теплообмен с атмосферой возрастает, но его рост ниже, чем во втором периоде).

Т ак как распределение температуры рассматривается в летний период (период отсутствия ледяного покрова), то для всех трех декад можно принять граничное условие на дне

Таким образом, получено, что сумма начальных и граничных условий слагаемых задач в каждый момент времени равна условиям основной задачи.

3 . Находим решение общей задачи в виде суммы решений трех задач. Для этого обращаемся к перечню решений 19 простых задач, разработанных А.И.Пеховичем и В.М.Жидких, и обнаруживаем, что первая задача совпадает с задачей № 6, а вторая и третья задачи — с задачей № 7 этого перечня (рис.5.2). Причем во второй задаче в качестве Q₀ (графа 5) необходимо принять , а в третьей — ( ).

Рис.5.2. Решения слагаемых (простых) задач

Расчетная формула для определения температуры воды с учетом полученных решений для трех простых задач имеет вид

( 5.5)

где относительная избыточная температура θ_иi определяемая формулами (5.2), находится по графикам, построенным для каждой задачи, в зависимости от критерия Фурье и относительной глубины η = z/h.

Результаты расчета температуры воды в водоеме по его глубине для рассматриваемого примера приведены в табл.5.1.

Таблица5.1