3.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]

Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.

Задача № 1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Т_с Температура на поверхности 0°С удерживается в течение всего расчетного периода.

Требуется найти t = f(x, τ).

Решение.

(3.28)

Пример к задаче № 1. Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Т_с = 4°С). Глубина водохранилища 5м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10^-4 м²/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при x = 0, отсутствует.

В течение расчетного периода (τ=3·30·24=2160ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при x = Х Т_п = 0°С.

Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. t_0(дно) = 4°С; t₁ = 4°С; t₂ = 3,85°С; t₃ = 3,30°С; t₄ = 2,96°С; t_5(пов) = 0°С.

Таблица3.3

Таблица3.4

Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И.Россинского [37].

Задача №2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени τ = 0 во всех точках температура тела равна Т_с. Для всех моментов времени τ > 0 на поверхности тела поддерживается температура Т_п = 0°С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, τ),

Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени

( 3.29)

г де есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции даны в табл.3.5.

Таблица 3.5

П рактически решение начинается с определения отношения , в котором х и τ заданы в условии задачи.

К оличество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного

( 3.30)

П ример к задаче № 2. В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6°С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0°С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м²/ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.

Решение. Определяем значение функции

И з табл.3.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса

П о формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2°С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности λ = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·10³ Дж/(кг·°С) и плотности ρ = 1500 кг/м³ определим по формуле (3.30) Q=l,86·10⁶ Дж/м².

Рис.3.2 Распределение температуры по глубине толщи [8]

Задача № 3. Исходные данные. Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограниченного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодические колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гармонические, т. е. температура поверхности меняется по косинусоиде:

( 3.31)

где  — продолжительность колебания (период), T₀ — температура поверхности,

T_{0 макс} — ее максимальное отклонение,.

Требуется определить температурное поле как функцию времени.

Решение.

(3.32)

Амплитуда колебаний температуры меняется с x по следующему закону (рис.3.2):

( 3.33)

П ример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песчаной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6°С при максимальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.

Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30°С (условно 1/VII).

Решение. Выражение косинусоиды (3.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при T_{0 макс} = 24⁰С примет вид

Т₀ = 24 cos (2πτ/8760) + 6.

Ввиду того, что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6°С, а не нуль, как в уравнении (3.32), расчетное уравнение примет следующий вид:

(3.34)

П риняв для грунта коэффициент температуропроводности a = 0,001 м²/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через 8760 ч от начального момента), найдем

Расчетное выражение (3.34) приобретет следующий вид: t = 24e^-0,6·0,825 + 6 = 16,9 °С.

Н а той же глубине 1м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (3.33), составит

T_{1 макс} = 24e^-0,6 = 13,2 °С,

а максимальная температура на глубине 1 м

t_{1 макс} = T_{x макс} + 6 = 13,2 + 6 =19, 2 °С.

В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подходы могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.