3.2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке

Рассмотрим пример применения полученного выше решения.

Исходные данные.

1. Дана бетонная стенка толщиной 2X = 0,80 м.

2. Температура окружающей стенку среды θ = 0°С.

3. В начальный момент времени температура стенки во всех точках F(x)=1°C.

4. Коэффициент теплоотдачи стенки α=12,6Вт/(м²·°С); коэффициент теплопроводности стенки λ=0,7Вт/(м·°С); плотность материала стенки ρ=2000кг/м³; удельная теплоемкость c=1,13·10³Дж/(кг·°С); коэффициент температуро-проводности a=1,1·10^-3м²/ч; относительный коэффициент теплоотдачи α/λ = h=18,0 1/м.

Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (3.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симметричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает, и при x = Х оно будет иметь вид

( 3.23)

Значения определены из граничных условий (без дополнительных здесь пояснений) и приведены в табл.3.1.

Располагая значениями из табл.3.1, находим искомый ряд значений по формуле

(3.24)

Таблица3.1

Значения функций, входящих в формулу (3.24)

i	1	2	3	4	5
qniX sin(qniX) cos(qniX)	1,38 0,982 0,189	4,18 —0,862 —0,507	7,08 0,713 0,701	10,03 —0,572 —0,820	13,08 0,488 0,874

т. е. Д₁ = 1,250; Д₂ = — 0,373; Д₃ = 0,188; Д₄ = — 0,109; Д₅ = 0,072.

Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

( 3.25)

Ч тобы получить расчетное распределение температуры через 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений на время через 5 ч. Эти расчеты выполнены в табл.3.2.

Таблица 3.2

Значения функций, входящих в формулу (3.23)

I	1	2	3	4	5
A=(qniX)2 (aτ/X2)	0,065	0,601	1,723	3,458	5,881
e-A	0,94	0,55	0,18	0,03	0,00
Di e-A	1,175	—0,203	0,033	—0,003	0,000

Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента

( 3.26)

На рис.3.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими цифрами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (3.25) и (3.26).

Рис.3.1. Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа) [8]

При решении практических задач обычно нет необходимости определять температуру во всех точках стенки. Можно ограничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точки, например для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (3.23) значительно сократится.

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Т_с, то уравнение (3.20) примет вид

( 3.27)