Связные множества, области

Определение 2.5. Множествоназываетсяоткрытым относительномножества, если оно может быть представлено как пересечение снекоторого открытого множества.

Ясно, что открытое (просто) множество есть множество, открытое относительно всего пространства . Если множествооткрыто, то любое открытое относительномножество будет просто открытым.

Но, например, если (полуинтервал на числовой прямой), то любое множествоприбудет открыто относительно(так какдля любого), ноне будетоткрыто.

Понятно, что всякое множество открыто относительно себя самого.

Определение 2.6. Множествоназываетсясвязным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух непересекающихся и открытых относительномножеств.

Например, любой шар, открытый или замкнутый, есть связное множество. Множество точек плоскости, состоящее из всех внутренних точек некоторого круга и всех точек любой полуокружности из окружности, служащей границей круга, будет связно (почему?). Любой полуинтервал на числовой прямой связен. В то же время множество, полученное объединением любого семейства попарно непересекающихся шаров (безразлично, открытых или замкнутых), не будет связно. Так на числовой прямой множество =не является связным, так как представимо в виде объединения двух непересекающихся отрезков, каждый из которых, будучи замкнут на всей прямой, тем не менее открыт относительно рассматриваемого множества (в самом деле,). Предостережем читателя от ошибки: ни в коем случае нельзя думать, чтолюбой отрезоквбудет открыт относительно! Напротив, любой отрезок,строго содержащийсяв , не будет открыт относительно(докажите!).

Определение 2.7. Множество, которое одновременно связно и открыто, называетсяобластью.

В частности, любой открытый шар и все пространство будет областью. Заметим, что все пространство может быть представлено как объединение бесконечного семейства шаровпо всемдля произвольной точки.Это позволяет нам рассматривать все пространство как шар бесконечного радиуса, центр которого можно взять в произвольной точке пространства.Замечательно, что великий французский философ и математик Блез Паскаль (1623 - 1669), характеризуя бесконечность Вселенной, писал: «Вселенная - это круг, центр которого везде, а окружность - нигде».

Ограниченные множества

Определение 2.8. Множествоназываетсяограниченным, если оно целиком содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса.

Таким образом, множество ограничено тогда и только тогда, когда найдутся точкаи положительноетакие, что .

Любой шар (конечного радиуса), разумеется, ограничен. Но внешность шара (для открытого шара это множество ) не есть ограниченное множество. Все пространство не является ограниченным, пустое множество ограничено. Читатель без труда построит многочисленные примеры как ограниченных, так и не ограниченных множеств.