2.1. Множества в .

Мы начнем наше изучение с построения некоторой классификации множеств точек(напомним, что мы отождествляем понятия точки и вектора!) в пространстве.

Прежде всего рассмотрим понятие окрестности.

Определение 2.1. Для произвольного (но фиксированного) положительного-окрестностью точкиназывается множество

.

Легко построить примеры окрестностей.

При -окрестность точкиначисловой прямойесть, очевидноинтервал; при-окрестность точкинаплоскостиесть не что иное, какмножество всех внутренних точек круга(т.е. точек, не лежащих на самойокружности)радиуса с центром в точке; при-окрестность точкивтрехмерном пространствеесть не что иное, какмножество всех внутренних точек шара(т.е. точек, не лежащих на самойсфере)радиуса с центром в точке(см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Мы будем часто говорить просто «окрестность точки », понимая под этим-окрестность этой точки для какого-то.

Заметим, что иногда используют понятие проколотой-окрестности точкикак множества

То есть проколотая окрестность не содержит самой точки - например, это внутренность круга с выброшенным центром. Отсюда и название - «проколотая окрестность».

Открытые множества, внутренние точки, внутренность.

Определение 2.2. Точкамножестваназываетсявнутренней, если она содержится ввместе с некоторой своей окрестностью, т.е. если существуеттакое, что.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

Подмножество всех внутренних точек множества называетсявнутренностью этого множества и обозначается(или, иногда).

Замечание. По определению принимается, что пустое множество открыто.

Таким образом, множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадаетсо своей внутренностью:.

Рассмотрим некоторые примеры и простейшие свойства открытых множеств.

Утверждение 2.1. Для любогои любой точки-окрестностьесть открытое множество.

Доказательство. Возьмем точкуи обозначим черезрасстояние. Очевидно. Полагая, докажем, что. Для произвольной точкиимеем ( в силу неравенства треугольника):

,

что и требовалось (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

В силу доказанного -окрестность точкиможно теперь называтьоткрытым шаром радиуса с центром в точке.Конечно, мы могли бы формально ввести такой термин и раньше, но разумнее это сделать сейчас, когда мы доказали, что действительно любая окрестность есть открытое множество.

Разумеется открыты не только окрестности. Например, на плоскости множество всех точек с положительной ординатой и лежащих строго ниже параболы , будет открыто (почему?). Все пространствооткрыто; в трехмерном пространстве любое «полупространство», определяемое плоскостью с уравнением, т.е. множество всех точек, определенных строгим неравенством(или) будет открыто. Проколотая окрестность открыта. Но, например,полуинтервална числовой прямойне открыт, так как точкане имеет ни одной окрестности,целиком содержащейся в этом полуинтервале.

Рассмотрим теперь простейшие свойства открытых множеств.

Утверждение 2.2. Пересечение любого конечного семейства и объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество.

(Под семейством множеств мы имеем здесь в виду любое множество, элементами которого являются некоторые множества).

Доказательство. 1) Пустьи- открытые множества. Докажем, что их пересечение тоже открыто.

Действительно, если эти множества не пересекаются, то пустое множество открыто по определению. В противном случае существует точка , принадлежащая обоим множествам. В каждом из них эта точка содержится вместе с некоторой своей окрестностью. Пустьи пусть, скажем,. Тогда, и эта- окрестность точкицеликом содержится и в множестве, и в множестве. Таким образом, выбирая наименьшую из двух окрестностей точки, с которыми она содержится в пересекаемых множествах, получаем окрестность, с которой данная точка содержится в пересечении указанных множеств.

Итак, пересечение любых двух открытых множеств открыто. Следовательно, и пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.

2. Объединение произвольного семейства множеств есть, по определению, множество всех точек таких, что каждая из них принадлежит некоторому множеству этого семейства. Так как каждое множество в семействе открытых множеств содержит любую точку вместе с некоторой ее окрестностью, то и объединение семейства открытых множеств любую свою точку содержит вместе с некоторой ее окрестностью и, следовательно, является открытым.

Очень важно заметить, чтопересечение бесконечного семействаоткрытых множеств не всегда открыто!

Действительно, например, пересечение - окрестностей (по всем) произвольной точкиесть одноэлементное множество, которое не открыто (почему?).

Утверждение 2.3. Для любых множествизследует.

Доказательство. Упражнение.

Таким образом, мы можем рассматривать открытые множества сколь угодно сложной структуры, даже и «несвязные» (понятие связности будет строго определено ниже). Например, произвольное объединение попарно непересекающихся открытых шаров будет открыто; пересечение любого конечного семейства открытых шаров тоже будет открыто. Интуитивно ясно, что если мы нарисуем на плоскости какую-нибудь «гладкую» замкнутую кривую (строго понятие гладкости мы обсудим в следующих параграфах) и рассмотрим множество всех точек фигуры, ограниченной этой кривой, но не будем брать точки, лежащие на самой кривой, то получим открытое множество. Равным образом, и «внешность» фигуры, ограниченной этой кривой, т.е. множество всех точек плоскости, которые не лежат ни внутри кривой, ни на самой кривой, тоже будет открыто (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

Но сколь бы сложно по своей «конфигурации» ни было открытое множество, оно обязательно в качестве подмножества содержит некоторую окрестность, т.е. некоторый открытый шар. В этом смысле открытые шары служат «базисными», «фундаментальными» открытыми множествами пространства .