Ответы к упражнениям

Упражнение В-1. а). Нет. б). Да. в). Да.

Упражнение В-2. а). Первое есть следствие второго.

б). Второе есть следствие первого.

Упражнение 1.1. а). . б). . в). . г). .

Упражнение 1.2. а). . б). . в). .

Упражнение 1.3. а). . б). . в). .

Упражнение 1.4. а). . б). .

Упражнение 1.5. .

Упражнение 1.6. .

Упражнение 1.7. а). . б). .

Упражнение 1.8. а). . б). .

Упражнение 1.9. .

Упражнение 1.10. .

Упражнение 1.11. .

Упражнение 1.12. .

Упражнение 1.13. а). . б). . в). .

Упражнение 1.14. .

Упражнение 2.1. а). . б). . в). .

Упражнение 2.2. а). ; .

б). ; .

Упражнение 2.3. .

Упражнение 2.4. а). . б). . в). .

Упражнение 2.5. а). . б).

в). . г).

д). е).

ж). з).

Литература

1. Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1990. – 303с.

2. Ванько В.И. Алгебраические многочлены: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГТУ, 1996. – 64с.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. – 431с.

4. Чирский В.Г., Шавгулидзе Е.Т. Уравнения элементарной математики. Методы решений. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. – 176с.

5. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Справочник. – Киев: Наукова думка, 1976. – 688с.

6. Куланин и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999. – 624с.

7. Головко и др. Математика. Сборник задач: пособие для подготовительных отделений. – Киев: Вища школа, 1986. – 295с.

Приложение Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари)

Рассмотрим уравнение третей степени

1)

где х - неизвестная величина, - заданные числа ( ), причем 0.

Сделаем это уравнение приведенным:

2. 

где . Это уравнение можно преобразовать в неполное кубическое уравнение, использовав замену

2. 

г де у – новая неизвестная величина. . Итак, имеем неполное приведенное кубическое уравнение

корни которого вычисляются по формуле Кардано:

5)

Корни в этой формуле берутся как вещественные, так и комплексные. При этом для каждого из значений корня нужно брать то значение корня , для которого выполняется условие:

6. ,

которое всегда существует. В самом деле, .

Перебирая все такие значения, можно найти все три корня уравнения 4) по формуле 5), а именно:

7)

где (комплексные корни из единицы). Соотношения 7) используют то положение из комплексного анализа, что все значения корня n-ой степени из комплексного числа можно получить умножением одного из этих значений на все корни n-ой степени из единицы(см. §1, формула (1.2)).

Пусть коэффициенты уравнения 4) p и q - действительные числа. В этом случае определяющее значение имеет выражение, расположенное под квадратным радикалом.

8) .

1). При >0 уравнение 4) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня. В самом деле, если p,qR, то в формуле 5) под знаком квадратного радикала будет действительное положительное число, а потому под знаком каждого из кубических радикалов будут действительные числа. Корень третьей степени как раз и имеет одно действительное значение и два комплексно сопряженных.

2). При и все корни уравнения 4) действительны, причем два из них равны между собой. В самом деле, при в соотношении 7) имеем:

3). Пусть <0, тогда уравнение 4) имеет три различных действительных корня. Заметим, что искать эти корни по формуле Кардано надо с использованием операции извлечения кубического корня из комплексного числа, а это возможно с переходом к тригонометрической форме комплексного числа. Однако, корни уравнения при <0 действительны и для их нахождения проще использовать другие частные способы решений уравнений высших степеней. Для определения числа действительных корней уравнения 4) при p,qR роль выражения для самодостаточна. Кроме того, при =0 устанавливается и кратность одного из корней уравнения 4).

Пример.1. Решить уравнения:

Решения. а). Используя замену 3) получим:

= Здесь p=-6, q=-9; поэтому ,

>0, что означает наличие в исходном уравнении одного действительного и двух комплексно сопряженных корней. Находим их:

2=2. Избегая дальнейшего нахождения корней с помощью комплексных чисел, определим с помощью квадратного уравнения, которое получим, разделив уравнение (*) на разность у-3 по схеме Горнера.

	1	0	-6	-9
С=3	1	3	3	0

Так как х = у-1, то имеем окончательно:

Ответ:

Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить метод группировки:

стало быть, уравнение имеет три действительных корня, один из которых кратный. Находим эти корни:

Ответ:

Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить отбор делителей свободного члена. Делители свободного члена суть: Находим f(1)=1-12+16=5, f(-1)=-1+12+16=27. Так как не являются корнями данного уравнения, то для (-2) имеем:

Далее получаем квадратное уравнение, разделив исходное на двучлен (х+4).

	1	0	-12	16
С=-4	1	-4	4	0

<0  уравнение имеет три разных действительных корня, нахождение которых в области действительных чисел по формуле Кардано невозможно, а потому реализуем частный способ решения –метод группировки:

Рассмотрим уравнение четвертой степени

9)

где х - неизвестная величина, - заданные числа Сделаем это уравнение приведенным:

10)

Полученное уравнение с помощью замены

11)

сводится к неполному уравнению

12)

где новые коэффициенты p,q,r – определяются после соответствующих преобразований уравнения 10). Для нахождения корней уравнения 9) достаточно решить полученное уравнение 12). Способ Феррари заключается в том, что для уравнения 12) составляется так называемая кубическая резольвента:

13)

Затем находится один из корней этого уравнения и составляются два квадратных уравнения:

корни которых являются корнями уравнения 12).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Пусть Тогда имеем:

Составим кубическую резольвенту полученного уравнения, в котором p=1, q=4, r=-3. Итак, имеем: где один из корней =1, а потому имеем два квадратных уравнения:

Так как х=у+1, то имеем окончательно:

Замечание 1. Находя действительные корни уравнения четной степени, надо сначала убедится в их наличии. В нашем примере: , (++++-) j=1; стало быть, наличие пары корней с разными знаками гарантировано (что касается наличия комплексных корней, то можно лишь сказать, что они не исключаются, так как 16>7, 49>8, 4>-35).

Замечание 2. При решении различных уравнений третьей и четвертой степеней можно использовать фрагменты алгоритмов Кардано и Феррари.

Упражнение 1. Решить уравнение

Ответ: {-1;3;3;3}.

Упражнение 2. Решить уравнение

Ответ: {4}.

27