Национальный Исследовательский Университет

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Институт автоматики и вычислительной техники

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа № 1

Умножение двух матриц

методом блочного сдвига

Выполнила

Студентка А-13-09

Шорникова Дарья

Преподаватель

Панков Николай Александрович

Москва, 2013 г.

Постановка задачи

Пусть даны две прямоугольные матрицы и размерности и соответственно:

Требуется найти матрицу (произведением) размерности :

Для нахождения произведения матриц методом статического разделения на полосы необходимо составить последовательно-параллельную программу на языке C или C++, использующую принципы нитевого распараллеливания, а также исследовать характеристики разработанной программы в зависимости от числа потоков.

Тестирование проводились на компьютере со следующей конфигурацией:

ПРОЦЕССОР Intel Core i7-3720 2.6 Ггц

ОПЕРАТИВНАЯ ПАМЯТЬ 8Gb

ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА Windows 8 Ultimate x64 (SP1)

Последовательный алгоритм решения

Умножение матриц по определению

В соответствии с определением, произведение матриц состоит из всех возможных комбинаций скалярных произведений строк матрицы и столбцов матрицы . Элемент матрицы с индексами (i, j) есть скалярное произведение i-ой строки матрицы и j-го столбца матрицы .

for (i = 0; i < m; i++) {

for (j = 0; j < q; j++) {

C[i][j] = 0;

for (k = 0; k < n; k++)

C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

}

}

Параллельный алгоритм решения

Одним из эффективных методов параллельного решения этой задачи является блочное умножение матриц. Блочными алгоритмами являются алгоритмы Фокса и Кэннона.

В блочном алгоритме матрица представляется в виде набора блоков. В данной лабораторной работе реализован алгоритм Кэннона для квадратных матриц размера n*n.

Для корректной работы блочных алгоритмов необходимо, чтобы количество блоков по горизонтали и вертикали было n/q, где q=√p. То есть, число нитей, используемых в алгоритме, должно являться полным квадратом. Нить вычислений должна иметь доступ к горизонтальной полосе матрицы A и вертикальной полосе матрицы B.

Идея алгоритма Кэннона состоит в минимизации числа пересылок блоков. Добиться этого можно начальным перераспределением блоков в матрицах A и B. Для этого каждая строка матрицы A сдвигается на число блоков влево, равное ее номеру, и столбец матрицы B сдвигается на число блоков вверх, равное его номеру.

Следует помнить, что операции сдвига являются циклическими.

На каждом шаге алгоритма Кэннона происходит перемножение блоков Aij и Bij для получения соответствующего блока Cij с последующим сдвигом строк матрицы A влево и столбцов матрицы B вверх. Цикл повторяется q раз

Перераспределение блоков

Результаты вычислительного эксперимента

Теоритические оценки эффективности алгоритма (обменные взаимодействия между процессами не учитываются, так как они имеют доступ к матрицам, расположенным в общем адресном пространстве)

Максимальное ускорение, которое мы можем получить, равно числу нитей.

По результатам экспериментов время решения является средним арифметическим из 3-х времен решения задачи.

Матрицы 1000 × 1000

Число потоков	Время решения (сек)	Ускорение
1	8.594	1
2	4.486	1.915
3	3.114	2.759
4	2.496	3.443
5	2.188	3.927
6	2.039	4.214
7	1.922	4.471
8	2.001	4.294
9	2.002	4.292

Матрицы 2500 × 2500

Число потоков	Время решения (сек)	Ускорение
1	189.236	1
2	91.910	2,058
3	62.453	3,031
4	52.713	3,589
5	45.910	4,121
6	41.549	4,554
7	38.144	4,961
8	39.321	4,812
9	39.532	4,786

Матрицы 20 000 × 20 000

Число потоков	Время решения (сек)	Ускорение
1	6005,4665	1,0000
2	3401,2681	1,7657
3	2375,1655	2,5284
4	1820,5416	3,2987
5	1873,0987	3,2062
6	1891,9394	3,1742
7	1873,6492	3,2052
8	1831,9423	3,2782
9	1951,0563	3,0781
10	2089,2749	2,8744
11	2116,7367	2,8371
12	2085,5324	2,8796

Время

(сек)

Зависимость времени решения задачи от числа потоков

Число

потоков

Ускорение

Зависимость ускорения параллельного решения от числа потоков

Число

потоков

Приложение. Код программы.