Раздаточный материал №5 Уравнения высших степеней Содержание

§1. Типы уравнений высших степеней, имеющие алгоритмы решений ………………………………………………………….…….2

§2. Рациональные корни целочисленных

уравнений …………………………………………………………...…5

2.1. Деление многочленов…………………………………………….5

2.2. Теорема Безу и схема Горнера……..…………………..…….….7

3. Основная теорема алгебры и ее следствия………..…….9

4. Нахождение целых корней……………………………….10

5. Нахождение дробных корней…………………………….12

§3. Общий подход к решению уравнений высших степеней…..14

§4. Точное определение числа действительных корней в уравнениях, их отделение и оценка………………………….…….17

Ответы к упражнениям…………………………………………..…21

Литература…………………………………………………………....22

Приложение. Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари).…….……..23

§1. Типы уравнений высших степеней,

Имеющие алгоритмы решения

Рассмотрим так называемое двучленное уравнение

1.1 axⁿ + b = 0,

где

1). Если знаки коэффициентов "a" и "b" разные - то есть имеем уравнение (*) axⁿ - b = 0, где a>0 и b>0, - то axⁿ = b, , (число корней равно "n"); при четном "n" имеем два действительных корня (противоположенные числа), а при нечетном "n" - один действительный (положительный) корень.

2). Если знаки коэффициентов "a" и "b" одинаковы - то есть имеем уравнение (**) axⁿ + b = 0, a>0, b>0, - то и при нечетном "n" имеем один действительный (отрицательный) корень, а при четном "n" действительных корней нет.

Упражения 1.1. Найти действительные корни уравнений:

а). x³ + 8 = 0; б). x⁴ - 16 = 0;

в). x⁴ + 81 = 0; г). x³ - 27 = 0.

Замечание. Комплексные корни уравнения при наличии действительных корней легко получить, умножив один из действительных корней уравнения на радикал соответствующей степени из единицы, то есть:

1.2 где к =

При четном "n" имеем здесь два действительных корня, соответствующих k = 0 и k = n/2; при нечетном "n" имеем один действительный корень, соответс- твующий k = 0.

Так называемое трехчленное уравнение

1.3 ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0,

где сводится к решению квадратного уравнения при замене xⁿ = y (в частности, при n = 2 получаем известное биквадратное уравнение).

Упражнения 1.2. Найти действительные корни уравнений:

а). x⁴ - 13 x² + 36 = 0;

б). x⁸ - 65x⁴ + 64 = 0;

в). (x-2)⁶ - 19(x-2)³ = 216.

Уравнения вида

1.4 axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + … +cx² + bx + a = 0,

у которых коэффициенты членов, равноудаленных от конца и начала равны, называются симметричными, причем а 0. Такие уравнения обладают следующим свойством: если х есть решение, то 1/x тоже будет решением. Кстати, ни один из корней симметричного уравнения не может быть равен нулю, ибо а 0. Симметричные уравнения могут быть как четной, так и нечетной степени.

1). Способ решения симметричного уравнения четной степени покажем на примере уравнения четвертой степени:

1.5 ax⁴ + bx³ + cx² +bx + a = 0.

Так как х 0, то делим это уравнение на x²:

ax² + bx +c + b/x + a/x² = 0;

далее группируем члены при одинаковых коэффициентах:

a(x² + 1/ x²) + b(x + 1/x) + c = 0.

Пусть х +1/х = t, тогда (х+1/x)² = t² , x² + 2 +1/ x² = t², откуда x² + 1/ x² = t² - 2 и исходное уравнение превращается в квадратное относительно новой переменной "t":

a(t² - 2) + bt + c = 0, at² + bt + c - 2a = 0.

Кстати, (x + 1/x)³ = x³ + 3x² *1/x + 3x*1/x² +1/x³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³, откуда имеем при х +1/х = t х³ + 1/x³ = t³ -3t, что позволяет свести уравнение шестой степени к уравнению третьей степени; если слагаемые с коэффициентом "b" в уравнении 1.5 имеют разные знаки, то ясно, что надо использовать замену

х-1/х= t.

Упражнения 1.3. Найти действительные корни уравнений:

а). 4x⁴ - 3x³ - 2x² - 3х + 4 = 0;

б). 2x⁴ + 3x³ - 4x² - 3x + 2 = 0;

в). 2x⁴ - 9x³ + 9x - 2 = 0.

2). Симметричное уравнение нечетной степени всегда имеет действительный корень, равный 1. Разделив исходное уравнение на разность х 1, получим уже симметричное уравнение четной степени.

Упражнения 1.4. Найти действительные корни уравнений:

а). 3x³ - x² - х + 3 = 0;

б). 4x⁵ + x⁴ - 5x³ - 5x² + х + 4 = 0.

В симметричных уравнениях по сути с помощью подходящей замены (х 1/х=t) понижается степень исходного уравнения. Такая же ситуация реализуется в так называемых возвратных уравнениях, частным случаем которых являются симметричные уравнения. Характерным признаком, определяющим тип уравнения четвертой степени (1.5) ax⁴ + bx³ + cx² +dx + e = 0 как возвратного является условие:

1.6 .

Упражнение 1.5. Найти действительные корни уравнения

2x⁴ + 3x³ - 14x² - 9x + 18 = 0.

При решении уравнений высших порядков возможны самые разнообразные замены, понижающие, как правило, степень исходного уравнения.

Упражнение 1.6. Найти действительные корни уравнения

(х² - 3x - 4)( х² -5x - 4) = 9х².

Уравнения типа

1.7 (х + а) (х + в) (х + с) (х + d) = m

при выполнении хотя бы одного из условий:

1.8 a + b = c + d,

a + c = b + d,

a + d = b + c;

превращаются после простой замены в квадратное уравнение.

Упражнения 1.7. Найти действительные корни уравнений:

a). (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;

б). (х - 1)(х - 7)(х - 4)(х + 2) = 40.

Уравнения типа

1.9 (x + a)ⁿ + (x + b)ⁿ = c, n N,

решаются с помощью замены

1.10

и разложения биномов (можно использовать так называемый "треугольник" Паскаля).

Упражнения 1.8. Найти действительные корни уравнений:

а). (x - 3) ⁴ + (x + 1) ⁴ =256;

б). (x - 2) ⁶ + (x - 4) ⁶ = 64.

Упражнение 1.9. Найти действительные корни уравнения

x⁴ + 4x³ + 10x² + 12x - 7 = 0.

При решении уравнений высших степеней в ряде случаев удается использовать известные приемы при алгебраических преобразованиях, как-то: выделение полного квадрата, формулы сокращенного умножения, группировка, разложение на множители.

Упражнение 1.10. Найти действительные корни уравнения

(x + 4x) ² + (x + 2) ² = 16.

Упражнение 1.11. Найти действительные корни уравнения

x ⁴ + 4x ³ + 5x ² + 2х - 2 = 0.

Упражнение 1.12. Найти действительные корни уравнения

x⁴ + 6x³ + 8x² - 2x - 1 = 0.

Упражнения 1.13. Найти действительные корни уравнений:

а). 2x³ - x² - 1 = 0,

б). 2x³ - x² - 18x + 9 = 0,

в). x³ - 19x - 30 = 0.

Рассмотрим еще специальную тригонометрическую замену переменных в алгебраическом уравнении.

Пример 1.1. Решить уравнение

8x(2x² - 1)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1

при условии 0 < x < 1.

Решение. Так как 0<x<1, то положим х = cos t, где 0 < t < Тогда с помощью тригонометрических преобразований получим: 2x² - 1 = 2 cos² t - 1 = = cos 2t; 8x⁴ - 8x² + 1 = 8cos⁴ t - 8cos² t + 1 = 8cos² t(cos² t - 1 ) + 1 = -8cos² t * * sin² t +1 = 1 - 2sin² 2t = cos 4t; и исходное уравнение принимает вид:

8cos t * cos 2t * cos 4t = 1.

Умножаем обе части равенства на sin t и делаем "цепочку" тригоно- метрических преобразований: 8sin t * cos t * cos 2t * cos 4t = sin t, 4sin 2t * cos 2t * cos 4t = sin t, 2sin 4t * cos 4t = sin t, sin 8t = sin t, sin 8t - sin t = = 0, 2cos(4.5t) *sin(3.5t) = 0. Далее имеем два простейших тригонометрических уравнения, которые и решаем: 1). cos(4.5t) = 0, t = = при k = 0 t₁ = , при k = 1 t₂ = , соответствующие значения "x" следующие: x₁= cos , x₂=cos =1/2. 2). sin(3.5t)=0,

что при k = 1 дает t₃ = и х₃ = cos

Ответ: { cos ; 1/2; cos }.

Упражнение 1.14. Решить уравнение

8x(1- 2x²)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1

при условии 0 < x < 1.