2.2. Приложение к механике и физике

Из приложений к механике в индивидуальных заданиях рассматриваются задачи на нахождение статических моментов линий и фигур относительно координатных осей и их центров тяжести. Как и задачи на геометрические приложения интеграла они решаются с помощью известных формул. Ограничимся одним примером.

Пример 8.

Найти центр тяжести фигуры, ограниченной синусоидой и отрезком оси (рис. 8).

Обозначим координаты центра тяжести через . Так как фигура симметрична относительно прямой , то .

Д ругую координату найдем по формуле , где - статический момент данной фигуры относительно оси , а - ее площадь.

Имеем: ,

, . Искомый центр тяжести .

Аналогичным образом решаются задачи №№ 3-35, 5-35, 6-35, 7-35, 11-35, 15-35, 19-35, 23-35, 24-35, 28-35.

Отличительная особенность решения физических задач, рассматриваемых в индивидуальных заданиях, состоит в том, что здесь нет готовых формул для получения результата. Нужно, руководствуясь соответствующей физической закономерностью и методом, называемым «выделением элемента искомой величины» (или «выделением дифференциала»), выразить ее интегралом. Напомним этот метод на конкретном примере.

Пример 9.

Вычислить силу давления на вертикальную треугольную пластину, имеющую основание , высоту , погруженную вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды.

В ведем систему координат, как показано на рис. 9, и выделим в пластике элементарную полоску шириной на глубине .

Рассматривая эту полоску как прямоугольник, обозначим ее площадь через , а силу давления

воды на нее через (элемент искомой величины ).

Имеем: .

Из подобия треугольников и :

.

Следовательно, . Откуда .

Замечание. Нужно, разумеется, иметь в виду, что есть дифференциал функции , а - дифференциал функции - сила давления воды на .

Аналогично примеру 9 решаются задачи №№ 2-35, 4-35, 8-35, 13-35, 17-35, 20-35, 22-35, 27-35, 29-35, 30-35.