§ 4. Ду 1-го порядка с разделяющимися переменными
ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными можно отнести к самому важному виду уравнений. Оказывается, почти все изучаемые дифференциальные уравнения на заключительном этапе используют приемы разделения переменных.
Рассмотрим два принципиально различных вида уравнений с разделяющимися переменными:
А. Форма записи уравнения: y′=f(x)∙g(y);
В. Форма записи уравнения: f1(x)∙g1(y)dx+f2(x)∙g2(y)dy = 0;
С. Форма записи уравнения: y′=f(ax+by+c).
Решение–А: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: f1(y)dy = f2(x)dx, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи y′=f(x)∙g(y) к записи f1(y)dy=f2(x)dx могут использоваться неэквивалентные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.
Общая схема решения уравнения такова:
0). Запишем уравнение в форме: dy=f(x)∙g(y)dx (для анализа и решения удобнее).
1). Если возможно равенство: g(y0)=0, то функция y=y0 (прямая, параллельная оси OX) есть решение уравнения в исходной записи.
2). Учитывая, что
теперь g(y)≠0), запишем уравнение
в форме:
=f(x)∙dx. (1)
3). Интегрируем
уравнение (1):
=
+
C1 – общий
интеграл ДУ.
4). При оформлении «Ответа» записываем общее решение заданного ДУ: F(x,y,C1)=0 и добавляем решение: y=y0 , если имеет место равенство: g(y0) = 0.
Решение–В: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: φ1(y)dy+φ2(x)dx=0, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи f1(x)∙g1(y)dx+f2(x)∙g2(y)dy=0 к записи φ1(y)dy+φ2(x)dx=0 могут использоваться неэквивалентные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.
Общая схема решения уравнения такова:
1). Если возможно равенство: g1(y0)=0, то y=y0 (прямая, параллельная оси OX) является решением заданного уравнения. Его необходимо учесть при записи ответа. Также, если возможно равенство: f2(x0)=0, то x=x0 (прямая, параллельная оси OY) является решением заданного уравнения. Его тоже необходимо учесть при записи ответа, т.е. общего решения ДУ.
2). Учитывая, что
теперь g1(y0)≠0
и f2(x0)≠0,
преобразуем исходное уравнение к виду:
dx+
dy=0. (1)
3). Интегрируем
уравнение (1):
+
=
C1 – общий
интеграл ДУ.
4). Записываем ответ: F(x,y,C1)=0 – общее решение, также решения: y=y0 и x=x0 (если имеют место равенства: g1(y0)=0 и f2(x0)=0.
Решение–С: случай интересен тем, что при решении уравнения: y′=f(ax+by+c) используется замена функции y=y(x) функцией u=u(x).
Общая схема решения уравнения такова:
0). Запишем уравнение в виде: by′=bf(ax+by+c), для удобства!
1). Примем: u=ax+by+c и продифференцируем это равенство по x: u′=a+by′, или by′=u′–a.
2). Так как функция u=u(x) должна быть решением заданного уравнения, то необходимо: u′–a=bf(u), или u′=bf(u)+a=φ(u). Для удобства исследований и решения: dy=φ(u)dx
3). Уравнение u′=φ(u) решается по рассмотренной схеме Решение–А (простейший случай). После получения решения u=u(x) остается выразить y=y(x), используя выражение замены: u= ax+by+c. Замечание: цепочку преобразований перехода от заданного ДУ: u=ax+by+c → u′=bf(u)+a → u=u(x) → y=y(x) нужно выполнять как стандартную «технологию»!
Замечание: формы А,В,С записи уравнений с разделяющимися переменными будем называть стандартными.