Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 46, 51, 54, 61, 64, 173.

6

Пример 1–46: Решить дифференциальное уравнение: y′ = + .

Решение:

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a¹. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y₀)=0. Их нет.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u= u+ –u= .

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Решений дополнительных нет.

a⁴. Учитывая, что f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): 2udu =2 .

a⁵. Интегрируем уравнение (1): u²= lnCx².

a⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u= , получаем: y²= x²lnCx².

Ответ: y²= x²lnCx² – общее решение ДУ.

Пример 2–51: Решить дифференциальное уравнение: y²dx+ x²dy = xydy.

Решение:

1). Заданное ДУ – однородное: множители при dx и dy – однородные функции 2-го порядка (одинакового!). Далее используется «стандартный алгоритм» решения уравнения, заданного в дифференциальной форм: y²dx+(x²–xy)dy =0.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. Лекцию!):

a⁰. Выделяем возможные решения исходного уравнения f₁(x,y)dx+f₂(x,y)dy=0.Имеем: f₁(x,y)=y²; f₂(x,y) =x²–xy. Первое: f₁(x,y₀)=0 при каких y₀=0 – ось ОХ. Второе условие: f₂(x₀,y)=0. Даёт решение: x=x₀=0 – ось ОY.

a¹. Запишем наше уравнение в виде: y′= : y′=– = . Здесь учтено: f₂(x,y)=x≠ 0.

a². Примем = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u= –u= .

a³. Проверим условие: φ(u₀)=0: имеем u₀=0 → y=0: уже участвует согласно a⁰.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: = . (1)

a⁵. Находим интеграл: J= =u–ln|u|.

a⁶. Записываем результат интегрирования уравнения (1): u–ln|u|=lnCx → u=ln(Cux). Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = , получаем: =Cy.

Ответ: =Cy – общее решение ДУ, также x=0, y=0 (из общего не выделяются ни при каком С).

Пример 3–54: Решить дифференциальное уравнение: xy′ =y+ xtg .

Решение:

0). Представим ДУ в виде: y′ = + tg . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a¹. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y₀)=0. Видим: y₀=0 –решение ДУ.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u=u+tgu–u=tgu.

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Следует: u₀=πn, n Z, которые являются решениями ДУ, то есть y=x∙πn, n Z – семейство прямых, проходящих через начало координат XOY. При n=0 получаем найденное ранее y₀ = 0 – ось ОХ.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): = .

a⁵. Интегрируем уравнение (1): ln|sinu|= lnCx.

a⁶. Записываем общее решение: sinu=Cx. Учитывая что u= , получаем: sin =Cx.

Ответ: sin =Cx – общее решение ДУ, также y=x∙πn, n Z.

Пример 4–61: Решить дифференциальное уравнение: (x+y–1)²dy=2(y+2)²dx.

Решение:

1). Заданное ДУ – специального вида: множители при dx и dy – линейные функции, их отношение образует специальную дробь: 2 . Так как прямые l₁: 0x+y+2=0 и l₂: x+y–1=0 пересекаются: их нормальные векторы =(0,1) и =(1,1) не коллинеарны, то имеем Случай-1 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.