Лабораторна робота №1

РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У КОЛАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ З ВИКОРИСТАННЯМ УНІВЕРСАЛЬНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ СИСТЕМИ MATLAB 6.5.1.

1. Мета роботи

Вивчення методів розрахунку перехідних процесів при вмиканні кіл першого порядку з індуктивним та ємнісним елементами (RС- та RL-кола) на постійну напругу і придбання навичок використання системи MATLAB 6.5.1 для аналітичних розрахунків перехідних процесів в електричних колах.

2. Теоретичні відомості

Загальний підхід до аналізу перехідних процесів

Завдання аналізу перехідних процесів полягає в загальному випадку у визначенні миттєвих значень струмів і напруг усіх або частини віток електричного кола в довільний момент часу після комутації. Для цього необхідно знайти загальне рішення основної системи рівнянь електричної рівноваги кола або системи рівнянь електричної рівноваги, складеної будь-яким іншим способом, при t > 0. Виключивши з системи рівнянь всі невідомі величини, крім однієї, одержують диференціальне рівняння кола, складене щодо цієї величини.

Класичний метод розрахунку

Класичний метод розрахунку перехідних процесів полягає в безпосередньому інтегруванні диференціальних рівнянь, що описують зміни струмів і напруг на ділянках кола в перехідному процесі.

У загальному випадку при використанні класичного методу розрахунку складаються рівняння електромагнітного стану кола за законами Ома й Кірхгофа для миттєвих значень напруг і струмів, зв'язаних між собою на окремих  елементах кола співвідношеннями, наведеними в табл. 1.

Таблиця 1. Зв'язок миттєвих значень напруг і струмів на елементах електричного кола

Резистор (ідеальний активний опір)	Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність)	Конденсатор (ідеальна ємність)
u = R∙ i	при наявності магнітного зв'язку з котушкою, обтічної струмом i,

У загальному випадку рівняння, що описує перехідний процес у колі з n незалежними накопичувачами енергії, має вигляд:

(1)

де у ― шукана функція часу (напруга, струм, потокозчеплення й т.п.);

f(t) ― відома примушуюча дія, що створюється напругою й (або) струмом джерела електричної енергії;

Частинне рішення у_вим рівняння (1) визначається видом функції f(t), що стоїть в його лівій частині, і тому називається вимушеною складовою. Для кіл із заданими постійними або періодичними напругами (струмами) джерел вимушена складова визначається шляхом розрахунку стаціонарного режиму роботи схеми після комутації кожним з розглянутих раніше методів розрахунку лінійних електричних кіл.

Друга складова у_в загального рішення у рівняння (1) ― рішення (1) з нульовою лівою частиною ― відповідає режиму, коли зовнішні (примушуючи) сили (джерела енергії) на коло безпосередньо не впливають. Вплив джерел проявляється тут через енергію, запасену в полях котушок індуктивності й конденсаторів. Даний режим роботи схеми називається вільним, а змінна у_в ― вільною складовою.

(2)

Відповідно до вищесказаного, загальне рішення рівняння (4) має вигляд

у = увим + ув.

(3)

Співвідношення (3) показує, що при класичному методі розрахунку післякомутаційний процес розглядається як накладення один на одного двох режимів ― примушеного, наступаючого як би відразу після комутації, і вільного, що має місце тільки протягом перехідного процесу.

Для визначення вільної складової у_в реакції кола необхідно знайти п коренів р_k характеристичного рівняння

(4)

відповідного однорідному рівнянню (2). Коли всі корені рівняння (4) прості (різні), вільна складова реакції має вигляд

(5)

тобто кожному простому кореню р_k відповідає доданок вільної складовї виду

де А_k — постійна інтегрування.